¿Por qué $\frac{\sqrt{6}}{32}(29 + \sqrt{145}) \approx \pi$ ?

Question

Disculpas por adelantado si esta es una pregunta estúpida; también, descargo de responsabilidad: esto es puramente por diversión ; pero:

¿Por qué $\frac{\sqrt{6}}{32}(29 + \sqrt{145})$ una aproximación tan buena a $\pi$ ?

( Correcto hasta 8 decimales si mi calculadora es creíble ).

¿Es sólo una coincidencia numérica, o hay realmente alguna explicación profunda (como el famoso casi entero $e^{\pi\sqrt{163}}$ relacionados con los números de Heegner)?

[Sin embargo, no es una observación mía; está tomada directamente de un comentario del usuario "desconocido (yahoo)" en la pregunta cerrada

https://mathoverflow.net/questions/67161

...que se dio cuenta de que $\frac{9}{8\pi} + \frac{8\pi}{29} \approx \sqrt{3/2}$ que es equivalente a la ecuación aproximada anterior; aunque no dio más explicaciones].

Mis conocimientos de teoría de números son muy limitados, pero parece que los métodos estándar, como las fracciones continuas, etc., no funcionarán en este caso, ¿o sí?

* EDIT: después de algunas búsquedas numéricas más: *

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})/c$ con números enteros $a,b,c$ puede aproximarse un poco mejor para ciertos $c$ que para otros; por ejemplo, para $c=32$ como arriba, el error de la mejor aproximación es (muy) aproximadamente $1/100$ del error para $c= 23,26,29,30$ y $1/10$ del error para $27,28,33,34$ etc.

Pero todos los valores de $c$ no parecen estar tan mal; los peores valores tienen errores aún dentro de un factor de aproximadamente $100$ de los mejores valores. Resultados con $e$ y números aleatorios en lugar de $\pi$ parecen vagamente similares.

Así pues, esta aproximación quizá no sea tan llamativa como pensé en un principio; pero, de todos modos, quizá todavía se esconda detrás algo más profundo. Quizá, también, no tenga nada que ver con $\pi$ .

Answer 1

No es una pregunta bien planteada porque no se han especificado las normas de las expresiones permitidas. Si, por ejemplo, el dominio son expresiones de la forma $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{c}$ con $a,b,c$ enteros no negativos entonces se podría llamar a una expresión a mejor aproximación (a $\pi \approx 3.1415926536$ ) si tiene un error menor que cualquier $\frac{\sqrt{a'}+\sqrt{b'}}{c'}$ con $c' \le c.$ Entonces uno podría preguntarse cómo encontrar las mejores aproximaciones, ¿es tu expresión una de éstas y, si es así, es una aproximación mejor de lo que uno podría esperar para un límite $c \le n?$ Para números racionales $\frac{p}{q}$ se sabe cómo encontrar las mejores aproximaciones (racionales) y que se puede esperar de ellas que la aproximación tenga un error aproximadamente $\frac{1}{q^2}.$ Una de las mejores aproximaciones racionales mencionadas por Pietro es $\frac{355}{113}.$ Véase mi comentario para saber por qué podría considerarse sorprendentemente bueno. Anteriormente adivinado que para su problema (tal y como lo he planteado) cabría esperar $\frac{1}{q^6}$ error pero ahora creo que está mal . Véase más abajo. Según esta medida, la expresión dada , $$\frac{29\sqrt{6}+\sqrt{870}}{32}=\frac{\sqrt{5046}+\sqrt{870}}{32}\approx 3.1415926546$$ es bastante bueno, pero $$\frac{3\sqrt{41}+\sqrt{149}}{10}=\frac{\sqrt{123}+\sqrt{149}}{10} \approx 3.1415928328$$ es mejor (en relación con el denominador) al igual que $\frac{10+\sqrt{229}}{8}$ y $\frac{1+\sqrt{71}}{3}.$ Ninguno de ellos me impresiona tanto como $355/133$ sin embargo.

pensamientos posteriores Es divertido como rompecabezas pero no mucho más. $\pi$ es un número excepcional y tiene expresiones de aproximación particulares, pero éstas no están entre ellas. La mejor aproximación racional y las fracciones continuas son bastante especiales. Las aproximaciones son fáciles de encontrar, pueden ser realmente útiles y se puede tener la certeza de su exactitud. Incluso se han sugerido como posible alternativa a la coma flotante para su uso en cálculos informáticos con reales . La aritmética y la geometría son bellas y las conexiones matemáticas profundas. No es casualidad que las primeras aproximaciones a $\pi$ son $\frac31,\frac{22}{7}=\frac{1+7\cdot 3}{0+7\cdot 1},\frac{333}{106}=\frac{3+22\cdot 15}{1+7\cdot 15}$ y $\frac{355}{113}=\frac{22+333}{7+106}$ . La precisión de una aproximación depende sólo de la parte fraccionaria (por lo que es tan fácil o difícil de conseguir $\pi$ con un denominador bajo $n$ como conseguir $100+\pi$ ). Ninguna de estas cosas parece ser cierta para $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{c}$ ni para raíces de polinomios de grado 4.

Dicho esto, ahora pienso que para aproximarse a un objetivo positivo real $T$ con denominador exactamente $c$ se puede esperar un error de orden $\frac{1}{c^4T^3}$ Esto se debe a que el número de expresiones $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ en un intervalo $(x-1/2,x+1/2)$ es casi exactamente $\frac{x^3}{3}$ por lo que esperaríamos poder aproximar $cT$ por $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ con error de orden $\frac{1}{c^3T^3}$ y por lo tanto $T$ por $\frac{ \sqrt{a}+\sqrt{b}}{c}$ con la precisión dada. Así que propongo definir el virtud de una aproximación $\frac{ \sqrt{a}+\sqrt{b}}{c}$ à $T=\pi$ ser $-log_{c\pi}|\pi-\frac{ \sqrt{a}+\sqrt{b}}{c}|$ y esperar que sea sobre $3$ . Puedo informar que para $3 \le c \le 200$ el $198$ valores de virtud de las mejores aproximaciones (una para cada $c$ ) se ajustan mejor mediante la recta $3.0339-0.000014c$ por lo que ciertamente parece satisfactoriamente plana. Encuentro (de acuerdo con informes más extensos de otros aquí) que las aproximaciones que superan a cualquier otra anterior (en cuanto a error absoluto) son para estos triples $[c,a,b]=$ $\small [3, 1, 71], [4, 38, 41], [5, 45, 81], [6, 2, 304], [6, 5, 276], [7, 18, 315], [8, 100, 229], [10, 149, 369], [14, 181, 932]$

$\small [21, 469, 1964], [24, 120, 4153], [27, 937, 2939], [28, 1724, 2157], [31, 576, 5386], [32, 870, 5046], [59, 2027, 19693]$

$ \small [69, 930, 34698] [80, 697, 50592], [91, 9774, 34977], [98, 2377, 67144], [120, 2010, 110329]$

$\small [132, 1311, 143249], [142, 14503, 106066], [152, 36835, 81566], [181, 67364, 95532]$

Para estas 24 mejores aproximaciones las virtudes llegan a 3,83837,3,80356,3,734 a c=10,8,32 respectivamente. Sin embargo, se trata de valores relativamente recientes, por lo que es difícil saber qué esperar.

Answer 2

Hay maravillosas aproximaciones a $\pi$ basado en funciones modulares relacionadas con los números de Heegner de la clase 1 de Hilbert y los números de la clase 2 como el 58. Los números 29 = 58/2 y 145 = 5*29 son interesantes en su aproximación. Por ejemplo:

$$e^{\pi \sqrt{58}} \approx \frac{(5+\sqrt{29})^{12}}{64} + 24$$

Pero no creo que tu pregunta corresponda a estas aproximaciones modulares Puedes encontrar artículos que describen las aproximaciones de funciones modulares en http://sites.google.com/site/tpiezas/ramanujan .