Paridad de números de clase en campos numéricos cúbicos puros

Question

Consideremos la familia de campos numéricos cúbicos puros $K = {\mathbb Q}(\sqrt[3]{m})$ para $m = a^3 \pm 3$ .

Propuesta . Si $4 \mid a$ y $m$ está libre de cubos, entonces número de clase de $K$ es par.

Prueba. Sea $\omega = \sqrt[3]{m}$ el elemento $\alpha = a - \omega$ tiene norma $\pm 3$ . Desde $3$ está completamente ramificado, el $\varepsilon = \alpha^3/3$ es una unidad.

Si $m = a^3 + 3$ entonces $\varepsilon = 1 - 3a^2\omega + 3a\omega^2$ . Si $4 \mid m$ entonces $\varepsilon \equiv 1 \bmod 4$ , $K(\sqrt{\varepsilon}\,)/K$ es una extensión cuadrática no ramificada.

Los experimentos parecen sugerir que si $m = a^3+3$ y $a \equiv 2 \bmod 4$ , entonces $h$ también es par, pero no hay explicación, clase teórica de campo o de otro tipo. De hecho, el número de clase es par para todos los valores sin cubo de $m$ para $a = 2, 4, \ldots, 2 \cdot 88$ pero es impar para $a = 2 \cdot 89$ .

Esto no puede ser un accidente; la paridad del número de clase en el caso $m = a^3 - 3$ para $a \equiv 2 \bmod 4$ muestra una (es decir, un comportamiento más aleatorio) en el sentido de que el número de clase es impar bastante a menudo.

Pregunta: ¿Cómo puede este comportamiento en el caso $m = 8a^3+3$ ¿Se puede explicar?

Mi primera suposición sería que, para los campos de esta familia, hay una familia de ideales ${\mathfrak a}$ tal que ${\mathfrak a}^2$ es principal, pero no encuentro nada en este sentido.

Edita. El comentario de Dror me hizo mirar a la familia de curvas elípticas $y^2 = x^3 - m$ . Estos tienen rango $\ge 1$ y por la conjetura de paridad rango $\ge 2$ . Una desigualdad debida de Billing muestra ahora que $K$ tiene número de clase par. Para más detalles, véase pdf expediente. En realidad, Paul Monsky dio con algo similar para campos cuárticos puros; véase aquí .

Answer 1

Billing (Beiträge zur arithmetischen Theorie der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins, R. Soc. Scient. Uppsala (4) 11, Nr. 1. Diss. 165 S. Uppsala 1938; véase Handbook for elliptic curves de Ian Connell para una presentación moderna del resultado) demostró el siguiente resultado:

Sea $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \in {\mathbb Z}[x]$ ser irreducible, y consideremos la curva elíptica $E: y^2 = f(x)$ . Sea $K$ sea el campo numérico cúbico generado por una raíz $\alpha$ de $f$ y que $E_K$ sea su grupo unitario. Escriba $({\mathcal O}_K: {\mathbb Z}[\alpha]) =: m_f^2$ . Entonces $$r \ \le \ r_2(K) + r_E(K) + 2n_+ + n_-,$$ donde $r$ es el rango de Mordell-Weil de $E({\mathbb Q})$ , $r_2(K)$ es el $2$ -del grupo de clases ideal de $K$ , $r_E(K)$ es el ${\mathbb Z}$ -rango del grupo de unidades $E_K$ de $K$ , $n_+$ es el número de primos $p \mid m_f$ que se dividió en $K$ ,
y $n_-$ es el número de primos $p \mid m_f$ que se descomponen como $p {\mathcal O}_K = {\mathfrak p}{\mathfrak p}'$ o como $p {\mathcal O}_K = {\mathfrak p}^2 {\mathfrak p}'$ .

Si ${\mathbb Q}(\sqrt[3]{m})$ es un campo cúbico puro con $m \not\equiv \pm 1 \bmod 9$ cubefree, entonces el índice es trivial, y $n_+ = n_- = 0$ nos proporciona el límite $$r \ \le \ r_2(K) + 1.$$

Por otra parte, la conjetura de paridad (véase el artículo de Liverance señalado por Dror) implica que el rango de Mordell-Weil de $E$ es par para valores libres de cuadrado de $m = 8b^3 + 3$ , y la familia de puntos de no torsión $$P_b\Big( \frac{2b^3+1}{b^2}, \frac{3b^3+1}{b^3} \Big)$$ muestra que $r \ge 1$ . Por tanto, la conjetura de paridad implica $r \ge 2$ , y el límite de Billing da finalmente $r_2(K) \ge 1$ .