¿Ejemplo más sencillo de salto de cohomología de gavilla de estructura en familias lisas?

Question

Utilizando la teoría de Hodge (y el principio de Lefschetz mal definido), se puede demostrar que en la característica 0, dada una familia lisa adecuada $X \rightarrow B$ los grupos de cohomología de la gavilla estructural de las fibras son localmente constantes (como función sobre $B$ ). Conozco la existencia de varios contraejemplos a la afirmación correspondiente en característica positiva. Dado el éxito de esta pregunta Quiero preguntar:

¿Cuáles son los ejemplos más sencillos de una familia lisa propia que presenta saltos de algún grupo de cohomología de la gavilla de estructura?

Por lo expuesto anteriormente, un ejemplo de este tipo tendrá necesariamente una característica positiva.

Por "más simple", me refiero a una de las siguientes medidas.

(mejor) Un ejemplo cuya demostración sea lo más elemental posible, e idealmente breve.

Un ejemplo con una base conceptual sencilla. (Bueno, la mejor respuesta saldría bien en las dos primeras medidas).

Un ejemplo conocido que es sencillo de enunciar, pero que puede tener una demostración complicada. (Lo ideal es que haya una referencia).

Un ejemplo esperado, folclórico o conjetural.

Answer 1

Un ejemplo es el de las superficies Enriques en la característica $2$ . Existen tres tipos en función del valor de $\mathrm{Pic}^\tau$ (como esquema de grupo) que puede ser $\mathbb Z/2$ , $\mu_2$ o $\alpha_2$ . En el primer caso $\omega_X$ es el generador por lo que en particular no es trivial y $H^2(X,\mathcal O_X)=0$ (utilizando, por supuesto, la dualidad de Serre). En los otros dos casos $\omega_X$ es trivial (ya que es numéricamente trivial y todos los haces de líneas numéricamente triviales son triviales) de modo que $h^2(X,\mathcal O_X)=1$ . Ahora, $\alpha_2$ puede deformarse tanto $\mathbb Z/2$ y $\mu_2$ y tales deformaciones pueden elevarse a deformaciones de superficies de Enriques (de hecho $\mathrm{Pic}^\tau$ es plano en familias de superficies de Enriques y el functor de deformaciones de las superficies a las de $\mathrm{Pic}^\tau$ es formalmente suave - Liedtke: arXiv:1007.0787, Ekedahl-Shepherd-Barron: inédito). Si elegimos una familia conexa de superficies de Enriques con algún valor especial que sea un $\alpha_2$ -superficial y genéricamente $\mathbb Z/2$ y, a continuación, obtenemos un ejemplo.

Un ejemplo de este tipo puede construirse (muy) explícitamente sin teoría de la deformación. He aquí una construcción semiexplícita que funciona en cualquier característica positiva. Fijar un esquema de grupo $A$ de orden $p$ en $\mathbb A^1$ localizada en $0$ (digamos) que es $\alpha_p$ en $0$ y $\mathbb Z/p$ en otro sitio. Por la construcción de Godeaux (que Raynaud - Prop. 4.2.3, p-torsion du schema de Picard, Astérisque 64 - demostró que funciona para tales familias) hay una acción libre de $A$ en una intersección completa plana $Y$ (de cualquier dimensión, que suponemos es $\ge 2$ ) tal que $X=Y/A$ es suave (obsérvese que, contrariamente al caso de un esquema de grupo étale $Y$ se no sea suave). En $Y$ es una intersección completa tenemos que $\mathrm{Pic}^\tau_Y=0$ y de ello se deduce que $\mathrm{Pic}^\tau_X=A$ . Ahora, $H^1(-,\mathcal O_-)$ es el espacio tangente de $\mathrm{Pic}^\tau$ por lo que es cero fuera de $0$ y $1$ -dimensional en $0$ . (Si se tiene cuidado, se pueden obtener superficies Enriques para $p=2$ (supongo que esta fue la inspiración para la construcción de Godeaux).

Answer 2

Este es un intento de realizar el programa de Sándor de conseguir un ejemplo basado en Kodaira evanescente o no evanescente variando en una familia. Se hará manteniendo fija la superficie pero variando el haz de líneas.

No empezaré con los ejemplos de Raynaud, sino con una variación dada por Raynad-Szpiro (para más detalles, véase el artículo de Szpiro en Astérisque 64 o Flexors exposé en Astérisque 86). Recordemos que una estructura Tango-Raynaud en una estructura curva relativamente suave y propia $f\colon X\to C$ consiste en un haz de líneas $\mathcal L$ en $X^{(p)}$ junto con un mapa $\mathcal L\to B^1_{X/C}$ donde $B^1_{X/C}\subseteq \alpha_\ast\Omega^1_{X^{(p)}/C}$ es la imagen de $d\colon\alpha_\ast\mathcal O_{X}\rightarrow\alpha_\ast\Omega^1_{X/C}$ (y $\alpha\colon X\to X^{(p)}$ es el Frobenius relativo), tal que el adjunto mapa $\alpha^\ast\mathcal L\rightarrow \Omega^1_{X/C}$ es una isomorfía. Si $C$ es una curva suave adecuada y la fibración no es isotrivial, entonces tal $\mathcal L$ es amplio como $\Omega^1_{X/C}$ es de Szpiro (y $\alpha$ es finito) y por otro lado, observando la secuencia exacta $0\rightarrow\mathcal O_X\rightarrow\alpha_\ast\mathcal O_{X^{(p)}}\rightarrow B^1_{X/C}\rightarrow0$ tensado con $\mathcal L^{-1}$ obtenemos una incrustación $H^0(X,B^1\bigotimes\mathcal L^{-1})\hookrightarrow H^1(X^{(p)},\mathcal L^{-1})$ y por tanto el mapa dado $\mathcal L\to B^1_{X/C}$ da un elemento distinto de cero de $H^1(X^{(p)},\mathcal L^{-1})$ . El mapa $X\rightarrow C$ se construye mediante el procedimiento de Kodaira (utilizando que si el segunda curva inicial $D$ es Tango-Raynaud, entonces también lo es $f$ ).

Ahora se trata de demostrar que existe un $\mathcal{M}\in\mathrm{Pic}^0(X^{(p)})$ tal que $H^1(X^{(p)},\mathcal L\bigotimes \mathcal{M})=0$ . Por supuesto, para cada $\mathcal{M}$ , $\mathcal L\bigotimes \mathcal{M}$ es amplio y $\mathrm{Pic}^0(X^{(p)}$ está conectado de modo que estaríamos acabados si pudiéramos hacer esto. Tenga en cuenta que $\mathrm{Pic}^0(X^{(p)})$ es positivo dimensional (ya que contiene un subgrupo isógeno a $\mathrm{Pic}^0(C)\times \mathrm{Pic}^0(D)$ ) y, de hecho, demostraré que la desaparición es cierta para todo excepto un número finito de $\mathcal{M}$ 's.

Utilizaré $\mathcal L'$ para denotar un elemento general de la forma $\mathcal L\bigotimes\mathcal{M}$ donde $\mathcal{M}\in\mathrm{Pic}^0(X^{(p)})$ .

• Tenemos que $H^1(X^{(p)},\mathcal L'^{-p^n})=0$ para $n>0$ . Esto se demuestra inducción descendente sobre $n$ siendo cierta esta afirmación para grandes $n$ de Serre y amplitud de $\mathcal L'$ . Por lo tanto, basta con demostrar que el $p$ El mapa de potencia $H^1(X^{(p)},\mathcal L'^{-p^n})\rightarrow H^1(X^{(p)},\mathcal L'^{-p^{n+1}})$ es inyectiva. Este es el mapa inducido por adjunción $\mathcal L''\rightarrow F_\ast F^\ast\mathcal L''$ donde $F\colon X\rightarrow X$ es el Frobenius absoluto (en ambos $X$ y $X^{(p)}$ ) y $\mathcal L'':=\mathcal L'^{-p^n}$ . Lo demostramos factorizando $F$ como $\alpha\circ\beta$ donde $\beta\colon X^{(p)}\rightarrow X$ es el cambio de base de Frobenius en $C$ . Por lo tanto, bastará con demostrar que $H^1(X^{(p)},\mathcal L'')\rightarrow H^1(X,\alpha^\ast\mathcal L'')$ y $H^1(X,\alpha^\ast\mathcal L'')\rightarrow H^1(X,\beta^\ast\alpha^\ast\mathcal L'')$ son ambas inyectivas. Para la primera tenemos tenemos que su núcleo es igual a $\mathrm{Hom}(\mathcal L'',B^1_{X/C})$ y un da lugar (por inclusión y adjunción como arriba) a un mapa $\alpha^\ast\mathcal L''\rightarrow \Omega^1_{X/C}\cong \alpha^\ast\mathcal L$ . Tal mapa es cero ya que debido a la amplitud de $\mathcal L$ , $\mathcal L''$ es más positivo que $\mathcal L$ . En cuanto a la inyectividad de $H^1(X,\alpha^\ast\mathcal L'')\rightarrow H^1(X,\beta^\ast\alpha^\ast\mathcal L'')$ obtenemos de forma similar que el núcleo es igual a $\mathrm{Hom}(\alpha^\ast\mathcal L'',f^{\ast}B^1_{C})$ . Sin embargo, $\alpha^\ast\mathcal L''$ tiene grado estrictamente positivo en las fibras de $f$ así que todos esos mapas son cero.
• Por lo tanto, para demostrar que $H^1(X^{(p)},\mathcal L'^{-1})=0$ en general $\mathcal{M}$ bastaría con demostrar que para tal $\mathcal{M}$ el $p$ Mapa de potencia $H^1(X^{(p)},\mathcal L'^{-1})\rightarrow H^1(X^{(p)},\mathcal L'^{-p})$ es inyectiva. De nuevo podemos factorizarlo y la segunda parte del argumento funciona como así que bastará con demostrar que sólo hay un número finito de $\mathcal{M}$ para los que $\mathrm{Hom}(\mathcal L',B^1_{X/C})$ podría ser distinto de cero. En cuanto a $\mathcal L$ un mapa de este tipo distinto de cero daría un mapa distinto de cero $\alpha^\ast\mathcal L'\rightarrow \Omega^1_{X/C}\cong \alpha^\ast\mathcal L$ . Sin embargo, $\mathcal L'$ es numéricamente equivalente a $\mathcal L$ y por lo tanto el mapa tendría que ser un isomorfismo. Esto implica que que $\mathcal{M}$ tendría que estar en el núcleo de $\alpha^\ast$ que es finito como $\alpha$ es plano finito (y suryectivo).

Answer 3

He aquí una idea de cómo uno (digamos yo) podría intentar construir un ejemplo de este tipo. Creo que esta idea, si funciona, podría entrar dentro de la regla nº 2. También, es posible que la respuesta que Matt dio en MSE ayude a llenar el vacío en esto. Aunque no es una respuesta completa, creo que puede ser útil.

Digamos que $X$ es una variedad proyectiva lisa y $\mathscr L$ un haz de líneas amplio en $X$ tal que $H^1(X,\mathscr L^{-1})\neq 0$ . Evidentemente, esto sólo puede ocurrir en característica positiva por desvanecimiento de Kodaira, pero puede suceder allí. Creo que Raynaud fue el primero en dar ejemplos de esto (¿en 1978?) y Ekedahl demostró que esto puede ocurrir incluso con $\mathscr L=\omega_X$ en característica $2$ . Otros dieron varios ejemplos para que esto sucediera, creo que tal vez incluyendo a Mukai.

De todos modos, supongamos que tal $X$ viene en una familia polarizada (es decir, existe un haz de líneas relativamente amplio en el espacio total que restringe a $\mathscr L$ en $X$ ) donde la fibra general no tienen que satisfacer esto (para cualquier potencia del haz de líneas que es la deformación de $\mathscr L$ ). No estoy seguro de si esto es una expectativa escandalosa, pero estoy pensando que el fracaso de la desaparición de Kodaira es especial y por lo tanto un general deformación no será un contraejemplo a la fuga de Kodaira, en otras palabras, la fuga de Kodaira se mantiene en ella. Un problema potencial que veo con esto es que es posible que tal $\mathscr L$ tal vez no se deformaría, por lo que no podría tomar razonablemente una deformación "general". Bueno, en realidad si uno utiliza $\mathscr L=\omega_X$ como en el ejemplo de Torsten, ¡entonces sí que se deforma! Estoy seguro de que Torsten leerá esto y me dirá por qué estoy equivocado :)

En cualquier caso, lo que necesito es precisamente eso $\dim H^1(X,\mathscr L^{-1})$ saltaría y esto todavía parece una tarea más fácil que el original ya que $\mathscr L$ es indeterminada, por lo que se tiene un poco más de libertad.

Así que, si tenemos eso, entonces estamos en el negocio. Tome una sección general de una alta potencia de la línea global paquete que restringe a $\mathscr L$ y tomar la cubierta finita que determina. Esta cubierta finita tiene la propiedad de que la cohomología de $\mathscr O$ de las fibras de esta cubierta sobre la base original es la suma de las cohomologías de las potencias negativas (hasta el grado menos uno) de las deformaciones de $\mathscr L$ . La suposición implica que, o bien la familia original le dio un ejemplo, o bien habrá un salto en ésta.

Answer 4

Por cierto, para Enriques esto no es sólo un ejemplo, sino que refleja su clasificación: el espacio de moduli de las superficies de Enriques es conexo en cualquier característica. Todas estas superficies surgen como desingularizaciones de cocientes $Y/G$ donde Y es una intersección completa (posiblemente singular) de $3$ cuádricas en $\mathbb{P}^5$ y $G$ es un esquema de grupo plano finito de longitud $2$ .

En característica $p\neq2$ todas las superficies de Enriques satisfacen $h^{01}=h^{10}=0$ y su espacio de moduli es irreducible. Además, sobre un campo algebraicamente cerrado de característica $p\neq2$ la única posibilidad para $G$ es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ que es isomorfo a $\mu_2$ .

En característica $p=2$ tenemos $h^{01}=0$ , $h^{10}=1$ si la superficie surge como cociente por $G=\mu_2$ ("clásica"), tenemos $h^{10}=h^{01}=1$ si $G=\alpha_2$ ("supersingular"), y por último, tenemos $h^{01}=1, h^{10}=0$ si $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ("singular"). El espacio de moduli es conexo, pero tiene dos componentes irreducibles: una corresponde a $\mu_2$ -cocientes, el otro a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -y su intersección con $\alpha_2$ -coeficientes.

Así, los números de Hodge reflejan la posición en el espacio de moduli, y un salto corresponde a un cambio de tipo.