¿Qué papel desempeña la geometría de contacto en la mecánica hamiltoniana?

Question

Supongamos que alguien está interesado en el estudio de la mecánica hamiltoniana.
¿Cuáles son buenos ejemplos para ilustrarle sobre la utilidad de la geometría de contacto en este contexto?

Por un lado, la mecánica hamiltoniana se expresó hace tiempo en el lenguaje de la geometría simpléctica, pero, por otro lado, la geometría de contacto se presenta a menudo como el hermano de la geometría simpléctica.

Mi pregunta es:

En la mecánica hamiltoniana, no necesariamente sólo para hamiltonianos de tipo mecánico, ¿qué papel desempeña la geometría de contacto?

Cualquier tipo de sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Creo que el ejemplo básico es cuando se tiene un colector simpléctico $M$ con un Hamiltoniano $H : M \to \mathbb{R}$ . A continuación, tome un valor regular $a$ de $H$ y mira la hipersuperficie $N := H^{-1}(a)$ que será una submanifold lisa de $M$ de dimensión impar. Entonces (probablemente con algunas hipótesis más que ahora olvido), $N$ tendrá una estructura de contacto, y el campo vectorial de Reeb correspondiente coincidirá con el campo vectorial hamiltoniano $X_H$ correspondiente a $H$ . Recordemos que el valor de la función hamiltoniana $H$ es constante a lo largo de los flujos de $X_H$ . En términos físicos, esto se interpreta como conservación de la energía o algo así. En este ejemplo básico, la geometría de contacto puede considerarse como el estudio de la mecánica hamiltoniana para un valor fijo de energía.

Answer 2

En mecánica, a menudo se quieren estudiar sistemas cuya función hamiltoniana depende del tiempo (explícitamente). Por ejemplo, se puede estudiar el movimiento de una partícula cargada en un en función del tiempo campo eléctrico. En estos casos se resuelve una EDO en el "espacio de fase ampliado" ( $\mathbb{R}^7$ en el ejemplo anterior), y no en $\mathbb{R}^6\simeq T^\vee \mathbb{R}^3$ . Además, la traslación entre la formulación hamiltoniana y lagrangiana de la mecánica pasa por la transformada de Legendre, que encaja muy bien en el marco de la geometría de contacto. La geometría de contacto también entra en la mecánica a través de la teoría de Hamilton-Jacobi y el "método de las características".

Se puede considerar la geometría de contacto como el análogo imparadimensional ("no estacionario") de la geometría simpléctica. Se puede pasar de una a otra por "simplectización". Por ejemplo, si se parte de una variedad, $M$ entonces se tiene una estructura de contacto tautológica en $X=\mathbb{P}T^\vee_M$ . La simplectización de $X$ es $T^\vee _M-\{ 0 \}$ con la forma simpléctica canónica. La simplectización convierte los difeomorfismos de contacto en simplectomorfismos, etc., etc. En la dirección opuesta, si se da una variedad simpléctica $(M,\omega)$ con $[\omega]=0\in H^2(M,\mathbb{R})$ puedes construir un paquete de líneas $E\to M$ con una estructura de contacto.

Answer 3

Formulario de contacto 1-formulario $\Theta = p \, dq -H \, dt$ en el espacio de fase ampliado $T^* Q \times {\mathbb R}$ siendo el segundo factor el tiempo y parametrizado por $t$ la función $H = H(q,p,t)$ la energía en función del tiempo o Hamiltoniano, y $p \, dq$ denota la forma única canónica habitual en $T^* Q$ devuelto al espacio de fase ampliado por la proyección sobre el primer factor. (Supongamos $H \ne 0$ para obtener $\Theta$ contacto). Entonces el campo vectorial de Reeb para esta 1-forma, es decir, el núcleo de $d \Theta$ en función del tiempo dependiente del tiempo, hasta una escala.

Arnol'd tiene una buena discusión de esto en su Métodos matemáticos en mecánica clásica .

Answer 4

Partiendo de la respuesta de Kevin Lin encuentro que la geometría de contacto da una prueba del principio de Maupertuis que es geométrica y no apela al principio variacional de Mínima Acción.

Sea dado un sistema Hamiltoniano con espacio de configuración $M$ energía potencial $V$ y la energía cinética $K$ .
Para cualquier valor regular $h$ de la función Hamilton $H:=K+V\circ\tau_M^\ast$ presentémonos:

• W el subconjunto abierto de $M$ donde $h-V$ es positivo, y
• $N:=H^{-1}(h)\setminus K^{-1}(0)$ un submanifold de codimensión 1 de $T^\ast W$ .

Definamos $\tilde{K}=(h-V\circ\tau_M^\ast)^{-1}K|_{T^\ast W}$ una métrica en $W$ vista como una función suave sobre $T^\ast W$ que es una forma cuadrática positiva definida.

Denotemos por $X$ y $\tilde{X}$ los campos vectoriales hamiltonianos en $(T^\ast W,d\lambda)$ havind como funciones de Hamilton $H$ y $\tilde{K}$ respectivamente.
Por definición, $N:=H^{-1}(h)\setminus K^{-1}(0)$ coincide con $\tilde{K}^{-1}(1)$ y el Liouville $1$ -forma $\lambda$ induce un formulario de contacto en él.
A partir del siguiente par de identidades:

• $i(X)\lambda=2K$ , $i(X)d\lambda=-dH$ y
• $i(\tilde{X})\lambda=2\tilde{K}$ , $i(\tilde{X})d\lambda=-d\tilde{K}$ ,

deducimos que:

• $X$ y $\tilde{X}$ son tangentes a $N$ ,
• ambos $(2K)^{-1}X|_N$ y $2\tilde{K})^{-1}\tilde{X}|_N\equiv 1/2\tilde{X}|_N$ satisfacen las ecuaciones definitorias del campo vectorial de Reeb en la variedad de contacto estricto $(N,j_N^\ast\lambda)$ .

Así sucesivamente $N:=H^{-1}(h)\setminus K^{-1}(0)$ el campo vectorial hamiltoniano $X$ de $H:=K+V\circ\tau_M^ast$ coincide con $2K\tilde{X}$ siendo $\tilde{X}$ el campo vectorial geodésico para la métrica de Jacobi en $W$ dada por $(h-V\circ\tau_M^\ast)^{-1}K$ .