Pregunta sobre el principio de inclusión-exclusión

Question

1ª parte de mi pregunta:

Tengo que $$P\left(\bigcup_{i=1}^{{2^n-n}}E_i\right)$$ ¿Cómo lo escribiría utilizando el principio de inclusión-exclusión? Sé que empieza $$\sum_{i=1}^{2^n-n} P(E_i)+...$$ Pero después de eso no estoy seguro de lo que sigue.

2ª parte --- También leí en algún sitio que (por subaditividad), $P\left(\bigcup_{i=1}^{{2^n-n}}E_i\right) \le \sum_{i=1}^{2^n-n} P(E_i)$ Pero, ¿por qué? No entiendo como por subaditividad se produce la desigualdad anterior.

Gracias.

Answer 1

$$\eqalign{ P\Bigl(\bigcup_{i=1}^n E_i\Bigr) = \sum_{i\le n} P(E_i) - &\sum_{i_1<i_2}\underbrace{ P(E_{i_1}\cap E_{i_2})}_{ {\text {two at a time}}} +\sum_{i_1<i_2<i_3} \underbrace{ P(E_{i_1}\cap E_{i_2}\cap E_{i_3})}_{\text {three at a time}} - \cr &\cdots+ (-1)^{n}\sum_{i_1<i_2<\cdots<i_{n-1} } \underbrace{ P(E_{i_1}\cap\cdots\cap E_{i_{n-1}} )}_{(n-1)\text { at a time}} \cr &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + (-1)^{n+1}P(E_1\cap E_2\cap\cdots\cap E_n)} $$

Los subíndices en las sumas anteriores son sólo una forma práctica de escribir, por ejemplo en el término $\sum\limits_{i_1<i_2} P(E_{i_1}\cap E_{i_2}) $ , "tomar la suma de las probabilidades de intersecciones de dos sucesos distintos (las intersecciones tomadas sin tener en cuenta el orden; es decir, en la suma, se tiene sólo uno de, por ejemplo $P(E_1\cap E_2)$ o $P(E_2\cap E_1) \thinspace $ )".

Por supuesto, mi " $n$ " es tu " $2^n-n$ ".

Por tu preocupación al final de tu post, tenga en cuenta la fórmula anterior tiene términos negativos.

En general, si los acontecimientos $\{E_i\}$ son mutuamente excluyentes, entonces $P(\cup E_i )=\sum P(E_i)$ pero si los acontecimientos se solapan $P(\cup E_i )\le\sum P(E_i)$ . Esto se debe a que la parte derecha de la fórmula anterior cuenta algunas probabilidades más de una vez (en concreto, las de la intersección de los solapamientos de $E_i$ ).

Answer 2

$$\sum_{i=1}^{2^n-n} P(E_i) - \sum_{i=2}^{2^n-n} \sum_{j=1}^{i-1} P(E_i \cap E_j) + \sum_{i=3}^{2^n-n} \sum_{j=2}^{i-1} \sum_{k=1}^{j-1} P(E_i \cap E_j\cap E_k) -\cdots$$

El punto clave sobre los límites de las sumas es que usted quiere cada combinación posible una vez y el $i,j,k,\ldots$ distinto

Para la segunda parte tiene

$$ P\left(\bigcup_{i=1}^{{2^n-n}}E_i\right) = P(E_1)+P(E_2 \cap E_1^C)+ P(E_3 \cap E_2^C \cap E_1^C) + \cdots$$

$$\le P(E_1)+P(E_2)+ P( E_3) + \cdots = \sum_{i=1}^{2^n-n} P(E_i) $$