¿Cómo encontrar los valores propios de la siguiente matriz?

Question

Sea

$B=U_1U_1{^\prime}+U_2U_2{^\prime}-\frac{1}{(m+3)}(1_m+U_1+U_2)(1_m+U_1+U_2)^\prime$ ,

donde $1_m$ es un vector columna de todos los unos y $U_1$ y $U_2$ son vectores columna de $0's$ y $1's$ tal que $U_1=(1_{k_1}^\prime0_{m-k_1}^\prime)^\prime$ y $U_2=(1_{k_2}^\prime0_{m-k_2}^\prime)^\prime$ . Tenga en cuenta que $k_1 > k_2, 1 \le k_1,k_2 \le m-1$ .

En $B$ tiene un rango máximo de 3, tiene al menos $(m-3)$ valores propios iguales a $0$ , digamos $\lambda_4=\lambda_5=\cdots=\lambda_m=0$

Estoy tratando de encontrar $k_1$ y $k_2$ tal que $f(k_1,k_2)=(1+\lambda_1)(1+\lambda_2)(1+\lambda_3) $ se reduce al mínimo. ¿Alguna sugerencia para encontrar $\lambda_1, \lambda_2$ y $\lambda_3$ ?

¿Es posible escribir el vector propio $x=U_1+U_2+\alpha(1_m+U_1+U_2)$ y luego $Bx=\lambda x$ ?

Answer 1

Suponemos que $m\geq 3$ . Los experimentos numéricos parecen demostrar que el mínimo se obtiene para $k_1=2,k_2=1$ y luego $\lambda_1>\lambda_2>0>\lambda_3>-1$ .

EDITAR. Cuando $k_1=2,k_2=1$ el polinomio característico de la matriz $B$ es

$p(x)=\dfrac{1}{m+3}x^{m-3}(a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0)=$

$\dfrac{1}{m+3}x^{m-3}((m+3)x^3 +(-2m+2)x^2+(-2m+4)x+m-2)$ .

Así $f(2,1)=1+\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3=\dfrac{a_3-a_2+a_1-a_0}{a_3}=\dfrac{7}{m+3}$ .