Estabilidad uniforme de un operador

Question

Tengo problemas para entender la demostración del siguiente Lemma donde $r(T)$ es el radio espectral de un operador $T$ .

Si $T\in\mathcal{B}(\mathcal{X})$ es un operador sobre un espacio complejo de Banach $\mathcal{X}$ entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes por pares
(a) $T^{n}\stackrel{u}{\rightarrow} O$
(b) $r(T)<1$
(c) $||T^{n}||\leq \beta \alpha ^{n}$ para cada $n\geq0$ para algunos $\beta \geq 1$ y algunos $\alpha \in (0,1)$

$\mathbf{(b)\Rightarrow (c) \Rightarrow (a)}$ Supongamos que $r(T)<1$ y tomar un $\alpha$ en $(r(T),1)$ . Desde $r(T)=\lim||T^{n}||^{\frac{1}{n}}$ existe una interger $n_{\alpha} \geq 1$ para lo cual $||T^{n}||\leq \alpha^{n}$ siempre que $n\geq n_{\alpha}$ . Así $||T^{n}||\leq \beta \alpha^{n}$ para cada $n \geq 0$ con $\beta=\max_{0 \leq n \leq n_{\alpha}}||T^{n}||\alpha^{-n_{\alpha}}$ .

Lo que sí entiendo es lo siguiente:

Desde $1>r(T)=\lim\limits_{n \to \infty}||T^{n}||^{\frac{1}{n}}$ y $\alpha \in (r(T),1)$ la existencia de $n_{\alpha}$ con $||T^{n}|| ^{\frac{1}{n}}\leq \alpha$ para todos $n\geq n_{\alpha}$ sigue. Esto equivale a $||T^{n}|| \leq \alpha^{n}$ para todos $n\geq n_{\alpha}$ . También está claro que $\alpha^{n_{\alpha}} \geq \alpha^{n}$ para $n \geq n_{\alpha}$ desde $0\leq \alpha < 1$ .

Además, es evidente que $||T^{n}|| \leq \max_{0 \leq k \leq n_{\alpha}}||T^{k}||$ para $n \leq n_{\alpha}$ . Así $\max_{0 \leq k \leq n_{\alpha}}||T^{k}||$ es un límite superior para el primer $n_{\alpha}$ elementos de la secuencia $\{||T^{n}||\}_{n=1}^{\infty}$ y $\alpha^{n_{\alpha}}$ un límite superior para la secuencia infinita que comienza en $n_{\alpha}$ .

Lo que no entiendo es:

• ¿Cómo se obtiene la desigualdad $||T^{n}||\leq \beta \alpha^{n}$ ?
• ¿Por qué $\beta \geq 1$ ¿Sostener?

Actualización Supongo que he entendido por qué $\beta \geq 1$ retenciones. $\beta \geq 1$ es equivalente a $\max_{0 \leq k \leq n_{\alpha}}||T^{k}||\geq \alpha^{n_\alpha}$ . Supongamos que no se cumple esta desigualdad, entonces $||T^{n}|| \leq \max_{0 \leq k \leq n_{\alpha}}||T^{k}||< \alpha^{n_\alpha}\leq \alpha^{n}$ para todos $n\leq n_{\alpha}$ (ya que $0\leq \alpha <1$ ). Esto es una contradicción ya que $n_{\alpha}$ es el número entero más pequeño que satisface esta desigualdad.

Answer 1

No entiendo exactamente cómo está escrita la prueba, pero ésta es mi opinión.

Para $n\geq n_\alpha$ , tienes $$\tag1\|T^n\|\leq\alpha^n.$$ Para $n<n_\alpha$ tenemos $$\tag2 \|T^n\|\leq\beta',$$ donde $\beta'=\max\{\|T^n\|:\ n=0,\ldots,n_\alpha-1\}$ . Ahora tomamos $$\beta''=\max\{\|T^n\|:\ n=0,\ldots,n_\alpha-1\}\,\alpha^{-n_\alpha}.$$ En $n\leq n_\alpha$ ya que $0<\alpha<1$ obtenemos $\alpha^{n_\alpha}\leq\alpha^n$ . En $(2)$ obtenemos $$\tag3 \|T^n\|\leq \beta'= \beta''\,\alpha^{n_\alpha}\leq\beta''\,\alpha^n,\qquad\qquad 0\leq n<n_\alpha.$$ Por último, toma $$\beta=\max\{\beta'',1\}.$$ Entonces $\beta\geq1$ y de $(1)$ obtenemos $$\tag4 \|T^n\|\leq\alpha^n\leq\beta\alpha^n,\qquad\qquad n\geq n_\alpha.$$ Combinación de $(3)$ y $(4)$ tenemos $$\tag5 \|T^n\|\leq\beta\,\alpha^n$$ para todos $n$ .