$a+\frac{1}{2M}\le\int^b_a xf(x)\,dx\le b-\frac{1}{2M}$

Question

Sea $f:[a,b] \to (0, +\infty)$ sea una función continua tal que $\int^b_a f(x)\,dx =1$ y $M=\max_{x\in[a,b]} f(x)$ . Demostrar que $$a+\frac{1}{2M}\le\int^b_a xf(x)\,dx\le b-\frac{1}{2M}.$$

Este es el problema en el que pensé que podría utilizar que $\int^b_a xf(x)\,dx =\frac{a+b}{2}$ porque a partir del teorema del valor medio existe $c\in(a,b)$ tal que $f(x)=(b-a)f(c)=1$ y también $f(c)<M$ Así que $1/(b-a)<M$ Así que $$\frac{1}{2M}+a< \frac{a+b}{2}<b-\frac{1}{2M}$$ ¿Es útil? Es otra forma de demostrarlo. $$a+\frac{1}{2M}\le\int^b_a xf(x)\,dx\le b-\frac{1}{2M}.$$ ?

Answer 1

pista

hacer la sustitución $$t=(a+b)-x$$

la integral se convierte en $$I=\int_a^bxf(x)dx=$$ $$\int_a^b(a+b-t)f(a+b-t)dt=$$ $$(a+b)\int_a^bf(x)dx-\int_a^btf(a+b-t)dt$$