$\partial^{\nu} \partial_{\nu}$ vs. $\partial_{\nu} \partial^{\nu}$

Question

Estaba haciendo un problema relacionado con la teoría de campos. Se me da la siguiente densidad lagrangiana: $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_i\partial^\mu\phi_i-\frac{m^2}{2}\phi_i\phi_i$$ para tres campos escalares. Quiero determinar las ecuaciones de movimiento para el campo $\phi_i$ . He utilizado la ecuación de Euler Lagrange: $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_j}-\partial_\mu[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_j)}]=0.$$ Mi pregunta es, ¿hay alguna diferencia entre utilizar la ecuación de Euler Lagrange de la forma en que la escribí arriba y la ecuación de Euler Lagrange con un superior $\mu$ índice: $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_j}-\partial^\mu[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial^\mu\phi_j)}]=0~?$$ Lo pregunto porque al final de mis cálculos, si utilizo las ecuaciones anteriores, obtengo $$\partial_\nu\partial^\nu\phi_j+m^2\phi_j=0$$ mientras que las últimas ecuaciones dan: $$\partial^\nu\partial_\nu\phi_j+m^2\phi_j=0.$$ ¿Son ambas la ecuación de Klein-Gordon o sólo la última?

Answer 1

Como se menciona en los comentarios de WarreG y del usuario2723984, dado que la expresión completa de los dos en términos del tensor métrico es $$\partial_\nu \partial^\nu=\partial_\nu g^{\mu\nu}\partial_\mu=\partial^\mu\partial_\mu,$$ las dos ecuaciones son idénticas.

Answer 2

Yo diría que la respuesta a su pregunta es: depende de la métrica. Sí, porque si tu métrica es Minkowski y cartesiana entonces $$\partial_{\mu}\partial^{\mu} = \partial_{\mu}\left(g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\right)=\underbrace{\left(\partial_{\mu}g^{\mu\nu}\right)}_{0}\partial_{\nu}+g^{\mu\nu}\left(\partial_{\mu}\partial_{\nu}\right)=g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=\partial^{\nu}\partial_{\nu}.$$ Pero, por ejemplo, ¿si tu métrica es Minkowski y esférica? En este caso $\partial_{\mu}g^{\mu\nu}\neq0$ y $\partial^{\mu}\partial_{\mu}\neq\partial_{\mu}\partial^{\mu}$ .

Como puede ver, $\partial_{\mu}\partial^{\mu}$ y $\partial^{\mu}\partial_{\mu}$ son equivalentes siempre que se entienda que se trata de coordenadas cartesianas.