¿De qué manera los ideales propios de $\Bbb Q[x]/ \langle x^3 \rangle$ ¿Qué aspecto tiene?
Sé que sus elementos se parecen a $p(x)$ modulo $x^3$ . Así que los ideales de la misma parecen $\langle ax^2+bx+c\rangle $ donde $a,b,c \in \Bbb Q$ . ¿Cuántos de ellos son distintos? ¿Puedo calcularlos todos de alguna manera? Mi libro sugiere que sólo hay $3$ que son distintos hasta el isomorfismo. ¿Cuáles son?
Por favor, ayúdenme en este sentido. Muchas gracias.
Es bien sabido que si $R$ es un anillo y $I \triangleleft R$ los ideales de $R/I$ están en correspondencia biyectiva con los ideales de $R$ que contienen $I$ siendo la biyección tomar la imagen y la preimagen de conjuntos mediante la proyección canónica.
En nuestro caso, $R$ es principal, por lo que los ideales de $\mathbb{Q}[X]/\langle X^3 \rangle$ se corresponden con los ideales $J \triangleleft \mathbb{Q}[X]$ tal que $\langle X^3\rangle \subseteq J$ y puesto que $J$ es un ideal principal, $J = \langle p \rangle$ para algún polinomio $p \in \mathbb{Q}[X]$ y, por tanto $\langle X^3\rangle \subseteq J$ sólo si $p | X^3$ es decir, si $p \in \{1,X,X^2,X^3\}$ .
Por lo tanto, los ideales de $\mathbb{Q}[X]/\langle X^3 \rangle$ son exactamente la imagen de éstos a través de la proyección. Concretamente, son
$$ 0, \quad \langle \overline{X^2} \rangle, \quad \langle \overline{X} \rangle, \quad \mathbb{Q}[X]/\langle X^3\rangle $$
con todos menos el último como es debido.
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