Homeomorfismo de un triángulo.

Question

Sea $\triangle$ sea cualquier triángulo equilátero con su interior encajado en $\mathbb{R}^2$ . Dado que $f:\triangle\rightarrow\triangle$ es un homeomorfismo. ¿Cómo puedo demostrar que $f$ ¿es una isometría?

No sé cómo empezar este problema. Agradeceré un consejo.

Answer 1

Como señala Andreas, no es cierto.

Seleccione un disco cerrado $\overline{B}(x, r)$ contenida en el triángulo. Entonces cada punto del disco es de la forma $x + \alpha v$ para algunos $\alpha \in [0, 1]$ y $v \in \mathbb{R}^2$ con $|v| = 1$ . Ponga $f : \overline{B}(x, r) \to \overline{B}(x, r)$ como $f( x + \alpha v ) = x + \alpha^2 v$ y un mapa de identidad en otro lugar. $f$ es un homeomorfismo pero no una isometría.