Añadiré algunos comentarios más extensos. No sé cómo responder a esta pregunta:
OP . Mi pregunta es, ¿hay alguna razón para que esto sea tan lineal que yo no esté viendo? Lo único que me parece indicar es que realmente debe haber infinitamente muchos primos gemelos.
En lo anterior, veo una pregunta y dos afirmaciones. La primera afirmación es que la trama es " tan lineal ". No estoy convencido de que sea efectivamente lineal, y lo comento a continuación. (Admito que al principio me pareció lineal.) Si la trama no es lineal, entonces formalmente la pregunta es nula, pero la trama me parece interesante, y aporto algún apoyo más (en forma de más gráficas) de que efectivamente es más o menos lineal, si no en el sentido de una " línea recta " entonces al menos en el sentido de un " curva fina "(con una pendiente gradualmente decreciente, donde quizá la pendiente siga siendo positiva todo el tiempo, pero quién sabe). No sé si hay una razón para ello (pero, por otra parte, hay una razón para todo :). De los gráficos de abajo parece que tomando primos $p$ únicamente, en $(3pn-4,3pn-2)$ (a diferencia de tomar números impar $m$ en general, en $(3mn-4,3mn-2)$ ) parece contribuir a la "delgadez" de la curva. Por último, en cuanto a la afirmación de que verdaderamente debe haber infinitos primos gemelos, no parece que el uso de la palabra "verdaderamente" por sí solo constituya una prueba ;)
Así que, primero me confundí en cuanto a lo que se trazó exactamente, y finalmente se aclaró (para mí, después de adivinar incorrectamente dos veces) en los comentarios. El OP también editó la pregunta para proporcionar una aclaración, pero me parece confuso utilizar la misma letra $n$ de dos maneras incoherentes, por un lado $p=p_n$ El $n$ -y, por otro lado, impar $n<p$ , en $(3pn-4,3pn-2)$ .
Así que, a continuación $p_k$ denotará el $k$ -th prime, como $p_1=2$ , $p_2=3$ , $p_3=5$ etc. Lo que hace el OP para los primos $p$ también podría hacerse para impar enteros $m\ge3$ en general. Dado $m$ deje $g(m)$ denotan la cantidad de mercancía, impar $n<m$ para lo cual $(3mn-4,3mn-2)$ es un par gemelo-primo. Por ejemplo, cuando $m=5$ entonces podríamos tomar $n=1,3$ . Entonces $n=1$ es buena ya que da como resultado el par gemelo-primo $(3mn-4,3mn-2)=(11,13)$ . También, $n=3$ es buena ya que da como resultado el par gemelo-primo $(3mn-4,3mn-2)=(41,43)$ . Este $g(5)=2$ ya que hay dos buenos valores para $n$ a saber $n=1$ y $n=3$ que funcionan. Por otra parte, si $m=9$ los posibles valores de $n$ son $n=1,3,5,7$ y ninguno de ellos es bueno. De hecho $n=1$ da $(3mn-4,3mn-2)=(23,25)$ no es bueno (como $25$ no es primo), $n=3$ da $(77,79)$ No es bueno, $n=5$ da $(131,133=7\cdot19)$ no es bueno, y $n=7$ da $(185,187)$ no es bueno. Así $g(9)=0$ (y parece que $m=9$ es el único impar $m\ge3$ con $g(m)=0$ al menos esto es así, ya que $3\le m\le 55227$ por lo que he calculado).
Se pueden contemplar variaciones de $g(m)$ por ejemplo $\bar g(m)$ contaría el número de buenos impar $n\le m$ (en lugar de $n<m$ ), y $\tilde g(m)$ contaría el número de buenos impar $n\le m^2$ . Entonces, por ejemplo $\bar g(9)=1$ desde $n=9$ es bueno, lo que resulta en un par gemelo-primo $(239,241)$ . También, $\tilde g(9)=9$ . Por ahora me quedo con $g(m)$ siguiendo al OP, pero podría valer la pena buscar versiones de $g(m)$ obtenido sustituyendo impar $n<m$ con impar $n\le b(m)$ para una función límite fija adecuada $b(m)$ .
Utilizando $g(m)$ podríamos definir $f(k)=g(p_k)$ donde $p_k$ es el $k$ -ésimo número primo. Por ejemplo, $f(2)=g(3)=1$ , $f(3)=g(5)=2$ , $f(4)=g(7)=3$ y $f(400)=g(p_{400})=g(2741)=39$ . Tengo entendido que la parcela publicada por el OP representa $f(k)$ vs $k$ para $k$ de $400$ a $4000$ (aunque no se utilizó esta notación). Por ejemplo, el punto $(400,39)$ pertenece a la trama.
Como he señalado en un comentario, no estoy convencido de ver una línea recta. Si un mayor rango de valores de $k$ parece que el gráfico es cóncavo hacia abajo, con una pendiente que disminuye gradualmente. Para los primos más pequeños, alrededor de $p_{150}$ es decir, cuando $k=150$ la pendiente puede estar en torno a $0.10$ , para grandes primos como el publicado por OP $400<k<4000$ la pendiente puede ser de alrededor de $0.08$ para primos aún mayores como $p_{150010}=2015309$ es decir $k=150010$ la pendiente parece más cercana a $0.063$ . (Esto se basa en mis cálculos y estimaciones utilizando Computer Algebra Reduce, un enlace a este software se publica en los comentarios, tiene un predicado primep $(p)$ devuelve verdadero si $p$ es un primo. Utilizando Reduzca Hice tablas de valores que luego se utilizaron para hacer gráficos, utilizando Gráfico de Ivan Johansen .)
A continuación se muestra un gráfico de $f(k)$ vs $k$ para $2\le k\le5611$ . Tenga en cuenta que $p_{5611}=55219$ .
![quantity if twin primes generated by $p_k$ for $k$ from $2$ to $5611$]()
Este gráfico se parece a una línea recta. Pero una estimación de su pendiente (utilizando la mitad derecha del gráfico) da aproximadamente $0.074$ mientras que el PO tiene una estimación de la pendiente en torno a $0.08$ o $0.081$ basado en $400\le k \le 4000$ . Como ya he señalado, mi estimación de la pendiente cuando $k=150010$ es inferior a $0.063$ . Si la pendiente disminuye gradualmente, no se trata de una línea recta. (Por supuesto, incluso si la "pendiente" parece acercarse a $0$ pero permanecen positivos todo el tiempo, entonces esto probará la infinitud de pares de primos gemelos, pero esto necesitaría un lenguaje y pruebas más precisas).
Como no veo ninguna razón en particular para considerar sólo $n<p_k$ (a diferencia de $n\le b(p_k)$ para una función fija adecuada $b$ ), tampoco veo una razón formal para restringir estas consideraciones a los primos $p_k$ solamente. Eso es, $g(m)$ se define para todos los impar $m\ge3$ no sólo para $m=p_k$ y podemos intentar trazarlo. Se plantea una cuestión técnica: Si mantenemos $k$ en el eje horizontal, entonces, dado $m$ ¿Qué? $k$ ¿a qué corresponde? En el siguiente gráfico he elegido el punto $(k+\frac12,g(m))$ siempre que $m\ge3$ es un número impar compuesto con $p_k<m<p_{k+1}$ . Dadas las escalas implicadas, esta elección parece acertada, y el gráfico siguiente es una extensión del gráfico anterior.
![quantity if twin primes generated by not only primes $p_k$ for $k$ from $2$ to $5611$]()
Obviamente, el nuevo gráfico (que incluye números Impares compuestos y números primos) está mucho más extendido, a lo largo de la vertical, que el antiguo gráfico (que sólo incluía números primos). Los números primos parecen generar sólo un cinturón en la parte inferior del gráfico, y parece haber cierta estructura, con cinturones más arriba. Pensé que tal vez los semi-primes tuvieran su propio cinturón, pero no parece ser el caso. Aunque el diagrama de los semiprimos, que se muestra a continuación, no se extiende a lo largo de la dirección vertical tanto como el diagrama de todos los números compuestos, el diagrama de los semiprimos parece incluir dos o tres cinturones (uno de ellos coincide con el cinturón procedente de los primos). Supongo que alguien que se dedique a la teoría numérica se reirá mucho si la razón es obvia, pero yo ni siquiera he intentado averiguarla, sólo he hecho una observación (y he contribuido al enigma propuesto por el autor).
![quantity if twin primes generated by not primes $p_k$, but semi-primes for $k$ from $2$ to $5611$]()
Aquí están los tres gráficos, para primos, compuestos y semi-primos juntos. (Compuestos en negro, semiprimos pintados en verde y primos pintados en rojo).
![quantity if twin primes generated by composites (black), semi-primes (green) and primes $p_k$ (red), for $k$ from $2$ to $5611$]()
Como ya se ha indicado, se trata de parcelas de $f(k)=g(p_k)$ vs $k$ . Tuve una interpretación incorrecta antes en cuanto a lo que fue trazado por OP, pensé que era una trama de $g(m)$ vs $m$ (y había incluido un enlace a una trama de $g(m)$ vs $m$ en los comentarios, sólo porque era más rápido hacer la trama así). Pero la trama de $f(k)=g(p_k)$ vs $k$ se ve mejor que la trama de $g(m)$ vs $m$ ya que el segundo parece cóncavo hacia abajo de forma más pronunciada, mientras que el primero parece más una línea recta, aunque también sea cóncava hacia abajo, cuando se mira con más atención. A modo de comparación, he aquí el gráfico de $g(m)$ vs $m$ para $3\le m\le 55227$ que incluye prácticamente la misma gama de primos que antes, pero, si $m=p_k$ entonces esta vez $m$ está en el eje horizontal en lugar de $k$ .
![quantity if twin primes generated by composites (black), semi-primes (green) and primes $m$ (red), for odd $m$ from $3$ to $55227$]()
El OP había observado que: Si cada primo fuera un cubo lleno de al menos un único primo gemelo, infinitos primos (demostrado) implicaría infinitos primos gemelos (sólo conjeturado). Como se ha dicho en los comentarios, esta singularidad se pierde si se tiene en cuenta $g(m)$ en general para impar $m\ge 3$ en lugar de sólo $f(k)=g(p_k)$ para primos $p_k$ . Más concretamente, si $k<j$ y $n<p_k$ con $(3 p_k n - 4,3 p_k n - 2)$ un par gemelo-primo, y si $l<p_j$ con $(3 p_j l - 4,3 p_j l - 2)$ un par gemelo-primo, entonces necesariamente $3 p_k n - 4\not=3 p_j l - 4$ desde $p_k n\not=p_j l$ para el mayor factor primo de $p_k n$ es $p_k$ mientras que el mayor factor primo de $p_j l$ es $p_j>p_k$ . Este argumento de unicidad falla si $p_k$ se sustituye por un número impar general $m$ pero no me preocupa. De hecho $3 m n -4\ge 3 m -4$ y los números $3 m -4$ ir al infinito como $m$ va al infinito, por lo que si hay infinitas impar $m$ para cada uno de los cuales hay al menos un impar bueno $n<m$ entonces esto implicaría la existencia de infinitos pares gemelo-primo. Por lo tanto, una posible modificación de lo que propone la OP es simultáneamente: (1) llegar a una buena función de limitación $b(m)$ por lo que consideramos que todos los impar $n\le b(m)$ en lugar de impar $n<m$ y (2) dar con una subsecuencia adecuada de los números Impares, digamos una secuencia $\{m_i:i=1,2,3\dots\}$ tal que $g(m_i)$ es fácil de evaluar o, al menos, se puede demostrar que $g(m_i)\ge1$ para cada $i$ . Planteado de esta manera, no veo cómo este problema sería quizás más fácil que la propia conjetura de los primos gemelos, no veo candidatos adecuados para ninguno de los dos $b(m)$ de para una subsecuencia de los primos Impares (es decir, no lo he pensado realmente, pero parece que no tengo ideas de cómo empezar). Con esta notación, el OP parece sugerir que $b(m)=m-1$ es una respuesta natural para (1), y que la secuencia de primos Impares es una respuesta natural para (2). Tal vez estos gráficos proporcionan alguna evidencia, pero por un lado, estos gráficos no implican números primos muy grandes, y por otro lado, incluso si uno pudiera afirmar con precisión lo que se ve en estos gráficos y creerlo, e incluso si es cierto, uno no sabría que es cierto sin una prueba. ¿Qué muestran exactamente estos gráficos, si es que muestran algo?
Para saber más sobre por qué estos gráficos son como son, se puede buscar en Google y escuchar la canción "Turn,Turn,Turn" de The Byrds (pero no voy a proporcionar un enlace, ya que la respuesta no emplea un argumento matemático). Puede sustituir temporada con motivo mientras escuchas ;)
Editar. Puede resultar curioso observar algunos de los puntos altos de estas parcelas, correspondientes a grandes rendimientos $g(m)$ para algún compuesto $m$ (en comparación con $g(m')$ para los vecinos $m'$ ). Algunas de ellas son $g(15015)=536=g(p_{1755\frac12})$ (aunque la notación $p_{k\frac12}$ es en general ambiguo ya que puede denotar cualquiera de varios números compuestos entre $p_k$ y $p_{k+1}$ ), $g(19635)=656=g(p_{2225\frac12})$ , $g(25025)=837=g(p_{2763\frac12})$ , $g(35035)=1072=g(p_{3734\frac12})$ , $g(45045)=1288=g(p_{4677\frac12})$ y $g(55055)=1537=g(p_{5595\frac12})$ . Todos estos $m$ enumerados anteriormente excepto $19635$ son múltiplos de $1001=7\cdot11\cdot13$ . Más concretamente, $15015=3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ , $19635=3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot17$ , $25025=5^2\cdot7\cdot11\cdot13$ , $35035=5\cdot7^2\cdot11\cdot13$ , $45045=3^2\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ , $55055=5\cdot7\cdot11^2\cdot13$ . Está claro que los primos gemelos tienen algo que ver con Scheherazade. Se puede conjeturar que cuando $m$ es muy compuesto (por ejemplo, producto de muchos números primos pequeños, preferiblemente diferentes), entonces $g(m)$ es grande. Esto es lo que sugieren los gráficos. (Los llamados números suaves parecen relacionados, se han estudiado por sus aplicaciones en algoritmos de factorización, Wikipedia tiene una página al respecto). Se puede buscar una secuencia adecuada de números enteros Impares, tal vez una secuencia de números lisos adecuadamente elegidos, digamos $\{m_i:i=1,2,3,\dots\}$ de forma que el trazado de $g$ cuando se limita a estos $m_i$ sólo, se parece a una línea, excepto que esta "línea" tendrá una "mayor pendiente" en comparación con la "línea" que va con $g(p_k)$ para primos $p_k$ .
