Pruebas $(n!)^3<n^n\times\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2n}$ con matemáticas de secundaria

Question

Muestre lo siguiente con $$(n!)^3<n^n\times\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2n}$$

Se da después de un artículo sobre la Desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica así que supongo que se resuelve usando eso.

Answer 1

Recordemos que la desigualdad AM-GM viene dada por \begin{align} \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n} \leq \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \end{align} entonces se deduce \begin{align} \sqrt[n]{(n!)^3}=\sqrt[n]{1^3\cdot 2^3\cdots n^3} \leq \frac{1^3+2^3+\cdots+n^3}{n} = \frac{1}{n}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n(n+1)^2}{4}. \end{align} Aquí he utilizado la fórmula de la suma de cubos.

Answer 2

Supongo que te refieres a n>1.

$n! <n^n$ (obvio).

$\frac{(n+1)^2}{4} \ge n\times1$

$\frac{(n+1)^2}{4} \ge (n-1)\times2$ .

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Ahora resuelve individualmente para n=impar y par.

En cada caso se obtiene $n!<(\frac{n+1}{2})^n$