El caso del escudo del Capitán América: una variación del problema de Billard de Alhazen

Question

Estoy seguro de que muchos de ustedes conocen el problema del billar de Alhazen, que implica encontrar el punto del borde de una mesa de billar circular al que debe apuntar una bola blanca en un punto determinado para que salga del borde de la mesa y golpee otra bola en un segundo punto determinado.

Mientras leía este problema matemático, pensé en mi superhéroe favorito de Marvel, el Capitán América (Cap'). Quizá sepas que el "Capi" tiene una habilidad especial por la que es capaz de lanzar su escudo de manera que rebote en ciertos objetos y vuelva a él. Examinemos un escenario que lo sitúa en el contexto del problema del billar:

Cap' está de pie en el punto C en una habitación circular vacía. ( Punto C no está en el centro de la sala Porque de ser así, podría lanzar el escudo en cualquier dirección y hacer que rebotara en la pared y volviera a él, ya que cualquier trayectoria sería la normal a la tangente en el punto en que el escudo golpea la pared. C tampoco está en el borde del círculo porque eso llevaría a una trayectoria basada en polígonos inscritos).

En el punto C para que el escudo regrese a él con 1 richochet, todo lo que tiene que hacer el Capi es lanzar el escudo de forma similar a lo largo de la línea de simetría de la habitación que atraviesa C Así que vamos a limitar su objetivo a un punto no en esa línea de simetría, lo que significa que buscaremos 2 rebotes o más.

Estos son los escenarios que me gustaría que consideraran:

Dónde debería apuntar el Capi para que el escudo vuelva a él:

• 2 rebotes
• 3 rebotes
• 4 rebotes
• n ¿rebotes?

Editar : De las respuestas que he leído y de mi propio trabajo, creo que hay un patrón para las trayectorias con Impares o rebotes pares. Sería bueno si alguien pudiera encontrar algebraicamente una forma generalizada de calcular la coordenada del punto de rebote dado el número de veces que queremos que el escudo rebote en la pared antes de regresar.

Nota: Para el análisis matemático, vamos a suponer que el escudo (una masa puntual) se mueve siempre en línea recta, no pierde energía cinética y obedece la Ley de la reflexión ( ángulo de incidencia = ángulo de reflexión. )

Answer 1

Esto es básicamente un largo comentario sobre la solución vinculada de OP a la $2$ -caso de Ricochet: Tienes razón, es un "lío". :)

Sin embargo, no te sientas tan mal. Me llevó un par de intentos encontrar un limpiar enfoque. Un primer intento implicaba un cúbico irreducible; el segundo, un cúbico con un factor lineal extraño. Sin embargo, un poco de perseverancia y perspicacia geométrica me llevaron finalmente a sólo la relación cuadrática del núcleo.

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A continuación se muestra una ilustración de (la mitad de) la $2$ -caso de Ricochet, donde el Capitán América se encuentra en el punto $C$ , distancia $c$ (con $0 < c \leq 1$ ) desde el centro $O$ de una sala de radio de la unidad:

Aquí, $T$ es el primer punto de rebote (el segundo es el reflejo de $T$ en $\overleftrightarrow{OC}$ ), y necesariamente aguda $\theta$ es tanto el ángulo de incidencia como el de reflexión del escudo que rebota en la pared en $T$ . Los triángulos rectángulos similares de la figura nos dan esta relación:

$$\frac{\cos\theta}{c+\sin\theta} = \frac{\sec\theta}{2c} \quad\to\quad 2 c \cos^2\theta = c + \sin\theta \quad\to\quad 2 c \sin^2\theta+\sin\theta- c = 0$$ Resolver para $\sin\theta$ da $$\sin\theta = \frac{1}{4c}\left( -1 \pm \sqrt{ 1 + 8 c^2 }\right) \qquad\to\qquad \sin\theta = \frac{1}{4c}\left( -1 + \sqrt{ 1 + 8 c^2 }\right)$$ Donde la agudeza de $\theta$ nos permite sustituir " $\pm$ " con " $+$ ". $\square$

(Comprobación de la cordura: Cuando el Capi está de pie en la pared, para que $c=1$ la fórmula da $\sin\theta = 1/2$ . Es decir, $\theta = 30^\circ$ como era de esperar cuando $C$ y $T$ son vértices de un triángulo equilátero inscrito).