Un ejemplo de grupo exacto noamenable sin subgrupos libres.

Question

Un grupo discreto contable $\Gamma$ se dice que es exacta si admite una acción susceptible en algún espacio compacto.

Está claro que los grupos susceptibles son exactos, pero también lo son grandes familias de grupos no susceptibles.

Para muchas de las familias que conozco (por ejemplo, grupos lineales, grupos hiperbólicos) que son exactas, también satisfacen la conjetura de von Neumann (es decir, que si son no-amenables entonces tienen subgrupo isomorfo a un grupo libre).

Así que mis preguntas son:

¿Existen ejemplos de grupos exactos que no seanamenables y no contengan subgrupos libres?

Answer 1

No he comprobado los detalles, pero lo más probable es que los grupos aleatorios de Gromov también puedan hacerse de torsión (y por tanto no contendrán $F_2$ ). Basta con imponer las relaciones $u^{n_u}$ en los escalones con números pares y hacer la construcción de Gromov de incrustar el siguiente grafo de un expansor en escalones con números Impares. Aquí $u$ recorre todas las palabras del grupo libre (más precisamente, $u_k$ es la palabra de menor longitud que tiene orden infinito en el número de grupo $k-1$ y $n_{u_{k}}>>1$ , impar, se elige después de la palabra $u_k$ ). Así pues, existen grupos no exactos sin subgrupos libres. Si uno hace sólo los pasos pares de esta construcción, entonces el grupo resultante será de torsión y noamenable (tendrá el grupo anterior como factor) y muy probablemente exacto, aunque no estoy tan seguro de ello como del ejemplo no exacto anterior. Así que la respuesta a la pregunta original es muy probablemente "sí". La forma de demostrar la exactitud puede ser a través de la finitud de la dimensión asintótica.

Answer 2

Owen, llego un poco tarde a la fiesta, pero creo que la respuesta a tu pregunta es ``no'', que yo sepa. Para expresarlo correctamente, creo que no se sabe si alguno de los contraejemplos conocidos a la conjetura de von Neumann es exacto.

Jon, hay que tener cuidado con los límites grupos hiperbólicos, por ejemplo los grupos aleatorios de Gromov que no son exactos son tales límites (son hiperbólicos lacunares, en el sentido de Olshanskii, Osin y Sapir).

Answer 3

Han pasado algunos años desde que se publicó esta pregunta, pero quizá (si aún no lo has visto) te guste leer la nueva solución geométrica para el problema de von Neumann.

http://www.math.cornell.edu/~justin/Ftp/vN_fp.pdf