Función de beneficios, en la que los ingresos totales se reinvierten en producción?

Question

Estoy tratando de encontrar una función que encuentre la ganancia neta de beneficio a lo largo de múltiples iteraciones. Por ejemplo, si produzco una unidad por 5 dólares , y puedo venderla por 8 dólares, tendría una ganancia neta de 3 dólares por unidad. Sin embargo, supongamos que tengo 50.000 dólares como préstamo (en teoría no tengo que devolverlos): puedo producir 10.000 unidades con un beneficio total de 30.000 dólares, lo que significa que dispongo de 80.000 dólares. Entonces reinvertiría TODA esta cantidad en producir muchas más unidades que al principio (entonces estaría creando 16.000 unidades, lo que supondría una reinversión de 128.000 dólares) y así sucesivamente.

Estoy suponiendo un sistema perfecto en el que no hay fluctuaciones en el precio de venta ni costes adicionales.

Hasta ahora puedo calcular el beneficio total de un ciclo del sistema, pero aparte de eso no tengo ni idea de por dónde empezar.

Answer 1

Obtengamos una ecuación que nos dé los beneficios y la riqueza total después de reinvertir para $T\ge 1$ iteraciones.

El beneficio por unidad $\pi$ depende del coste de producción por unidad $c$ e ingresos $r$ , $\pi=r-c$ . Su dotación inicial de riqueza es $w_1$ . En la primera iteración, utilizando toda su riqueza $w_1$ puede producir $w_1/c$ unidades (asumo por simplicidad que es un valor entero), y el beneficio total de la primera iteración es $$\Pi_1=\pi w_1/c=(r-c)w_1/c=rw_1/c-w_1.$$ En la segunda iteración, su riqueza es $$w_2=w_1+\Pi_1=w_1+rw_1/c-w_1=rw_1/c.$$ El beneficio total en la segunda iteración es $$\Pi_2=\pi w_2/c=rw_2/c-w_2=r^2w_1/c^2-rw_1/c.$$ En la tercera iteración, su riqueza es $$w_3=w_2+\Pi_2=r^2w_1/c^2,$$ y el beneficio total es $$\Pi_3=\pi w_3/c=rw_3/c-w_3=r^3w_1/c^3-r^2w_1/c^2.$$

Puedes seguir así, pero usando la inducción encontrarás que para la iteración $T$ se obtiene un beneficio de $$\Pi_T= r^Tw_1/c^T-r^{T-1}w_1/c^{T-1}.$$ El dinero total que tienes después de la iteración $T$ es $$w_{T+1}=\Pi_T+w_T=r^Tw_1/c^T.$$

En su caso, introduzca los valores $c=5$ , $r=8$ y $w_1=50,000$ .

Sólo una observación no matemática: no es plausible que condiciones como los precios (ingresos $r$ ) o costes $c$ no cambie si produce mucho como $T\to\infty$ .