Series de potencias características para mapas de E_{ \infty } espectros de anillo

Question

Permítanme admitir desde el principio que tengo un conocimiento muy superficial de la teoría de la homotopía. Sin embargo, estaba intentando comprender un poco la conferencia de Hopkins en la ICM. topología algebraica y formas modulares".

En la sección 6, menciona dos construcciones. A un mapa

$$\phi: MSpin\rightarrow KO$$

de $E_{\infty}$ espectros de anillo, asocia una serie de potencias característica $$K_{\phi}(x)\in \mathbb{Q}[[x]].$$ Del mismo modo, a un $E_{\infty}$ -mapa

$$\psi: MO\langle 8\rangle \rightarrow tmf,$$

asocia una serie de potencias $$K_{\psi}(x)\in MF_{\mathbb{Q}}[[x]],$$ donde $tmf$ es el espectro de la forma modular topológica y $MF_{\mathbb{Q}}=MF\otimes _{\mathbb Z}\mathbb Q$ es el anillo de las formas modulares con coeficientes racionales.

Me pregunto si alguien podría hacer un breve resumen de cómo se llevan a cabo estas asociaciones. Supongo que es algo elemental que tiene que ver con los grupos de homotopía de $MSpin$ y $MO\langle 8\rangle$ pero ahora mismo no dispongo de los recursos necesarios para localizarlos.

Como es habitual con preguntas de este tipo, seguro que mi nivel de ignorancia es incongruente con las palabras que ya estoy empleando, pero gracias de antemano por cualquier respuesta o referencia tolerante.

Añadido:

Tal vez debería resumir el sentido de esta pregunta para los colegas teóricos de los números que estén demasiado ocupados para leer el artículo. En la notación anterior, se asocia a $\phi$ una secuencia característica

$$b(\phi)=(b_2, b_4, b_6,\ldots)$$

mediante la fórmula

$$\log(K_{\phi}(x))=-2\sum_{n>0} b_n\frac{x^n}{n!}.$$

Increíblemente, este procedimiento establece una biyección:

clases de homotopía de $E_{\infty}$ mapas de $MSpin$ a $KO$ $\leftrightarrow$ el conjunto de secuencias de números racionales $(b_i)$ como las anteriores que satisfagan

(1) $b_n\equiv B_{n}/n \ \ \mod \mathbb{Z}$ donde el $B_n$ son los números de Bernouilli;

(2) para cada impar prime $p$ y $p$ -unidad radical $c$ ,

$$m\equiv n \ \mod p^k(p-1) \Rightarrow (1-c^n)(1-p^{n-1})b_n \equiv (1-c^m)(1-p^{m-1})b_m \ \mod p^{k+1};$$

(3) para cada $2$ -unidad radical $c$ ,

$$m\equiv n \ \mod 2^k \Rightarrow (1-c^n)(1-2^{n-1})b_n \equiv (1-c^m)(1-2^{m-1})b_m \ \mod 2^{k+2}.$$

En el caso de las clases de homotopía de los mapas de $MO\langle 8\rangle$ a $tmf$ se obtienen congruencias similares que implican series de Eisenstein en lugar de sus términos constantes. Por cierto, ¿quizás estas congruencias implican las anteriores?

Answer 1

En resumen, la serie $K_\phi$ es la "serie característica de Hirzebruch" que surge en la construcción/cálculo de géneros, y en Hirzebruch-Riemann-Roch. Los primeros capítulos de Múltiplos y formas modulares de Hirzebruch et al. describen bastante bien la versión clásica de esto.

Si tengo una ley de grupo formal unidimensional $F$ sobre un anillo $A$ y luego sobre $A_{\mathbb{Q}}$ existe un isomorfismo $\mathrm{exp}_F: G_a\to F$ con el grupo formal aditivo. Sea $K(x)=x/\mathrm{exp}_F(x)$ .

Supongamos $R$ es una "teoría cohomológica orientable compleja", lo que significa que se nos da un isomorfismo adecuado de anillos $R^*(CP^\infty)\approx \pi_*R[[x]]$ . Dicha teoría tiene asociada una ley formal de grupo $F$ (inducido por el mapa $CP^\infty\times CP^\infty\to CP^\infty$ que clasifica el producto tensorial de haces lineales), y por tanto existe una serie asociada $K(x)=x/\mathrm{exp}_F(x)$ en $\pi_*R_\mathbb{Q}[[x]]$ .

Resulta que un mapa de espectros anulares $\phi:MU\to R$ corresponde exactamente a dar una orientación compleja de $R$ . Por Thom, los elementos de $\pi_*MU$ corresponden a clases de cobordismo de variedades establemente casi complejas, y existe un cálculo estándar debido a Hirzebruch para calcular el efecto del mapa $\pi_*MU \to \pi_*R_{\mathbb{Q}}$ utilizando $K(x)$ que también podría llamar $K_\phi(x)$ ya que depende de $\phi$ . La fórmula (si no recuerdo mal), es que, si $[M]\in \pi_*MU$ es la clase correspondiente a una variedad de dimensión $2n$ entonces $$ \phi(M) = \langle K_\phi(x_1)\dots K_\phi(x_n), [M] \rangle, $$ donde el $x_i$ son las "raíces de Chern" del haz tangente de $M$ y $[M]\in H_{2n}M$ es la clase fundamental.

Existe un "ejemplo universal" de $K_\phi$ correspondiente al mapa de identidad $\phi\colon MU\to MU$ . Resulta que $\pi_*MU_{\mathbb{Q}}$ es un anillo polinómico sobre los coeficientes de $K_\phi$ de modo que $K_\phi(x)=\sum a_{i-1}x^i$ (con $a_0=1$ ) y $\pi_*MU_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}[a_1,a_2,\dots]$ . (Lo necesitaré más adelante).

En su charla, Mike no habla de orientaciones complejas, sino de orientaciones con respecto a $MSpin$ o $MO\langle 8\rangle$ (en lugar de $MO\langle 8\rangle$ lo llamamos $MString$ estos días, por alguna razón).

Existe un mapa de espectro anular $MU\to MSO$ inducido por los homomorfismos aparentes $U(n)\to SO(2n)$ de grupos de Lie. También existe un mapa $MSpin\to MSO$ inducida por la doble cobertura de los grupos de Lie. Aunque $MSpin\neq MSO$ tenemos que $\pi_*MSpin_{\mathbb{Q}}\to \pi_*MSO_{\mathbb{Q}}$ es un isomorfismo. Por lo tanto, un mapa $\phi\colon MSpin\to R$ induce $$ \pi_*MU_{\mathbb{Q}}\to \pi_*MSO_{\mathbb{Q}}\approx \pi_*MSpin_{\mathbb{Q}}\to \pi_*R_{\mathbb{Q}},$$ y podemos obtener $K_\phi(x)$ de esto.

En $MO\langle 8\rangle$ es un poco más complicado. Existe un mapa $MU\langle 6\rangle \to MO\langle 8\rangle$ por lo que un mapa espectral anular $\phi\colon MO\langle 8\rangle\to R$ da lugar a un mapa $$ MU\langle 6\rangle_{\mathbb{Q}} \to R_{\mathbb{Q}}.$$ Por otra parte, el efecto del mapa $MU\langle 6\rangle\to MU$ sobre grupos de homotopía tensados con $\mathbb{Q}$ es $$ \mathbb{Q}[a_3,a_4,\dots]\to \mathbb{Q}[a_1,a_2,a_3,\dots].$$ Así que un mapa $\phi\colon MO\langle 8\rangle\to R$ nos da elementos $\phi(a_i)\in \pi_{2i}R$ para $i\geq3$ que podemos utilizar como coeficientes de una serie $K_\phi(x)\in \pi_*R_{\mathbb{Q}}$ .

Debo señalar: en realidad hay un error en la declaración de (2) y (3) dada en la charla de Mike. Lo que él escribe son las "congruencias de Kummer"; pero lo que realmente hay que exigir son las "congruencias generalizadas de Kummer", que son básicamente la colección de todas las posibles $p$ -congruencias ádicas que implican números de Bernoulli, no sólo las enumeradas en (2) y (3). Esto procede de la teoría de la "medida de Mazur": las congruencias generalizadas de Kummer implican que la secuencia $b_n(1-p^{n-1})(1-c^n)$ puede interpolarse a una función $f$ de modo que $f(n)$ para $n$ un número entero es el momento de una medida en $\mathbb{Z}_p^\times$ . Sustituyendo (2) y (3) por "interpola a los momentos de una medida sobre $\mathbb{Z}_p^\times$ ", el resultado es correcto.

Por fin: Hay un artículo sobre esto en http://www.math.uiuc.edu/~mando/papers/koandtmf.pdf que puede serle útil o no.