Acerca de la integración $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x^2) dx$

Question

Lo que quiero probar es la siguiente integral \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x^2) dx=\frac{1}{2} \sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right) \pi } \end{align} ¿puede dar algún método explícito para obtener este resultado?

Answer 1

Sugerencia : Intenta calcular $$\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x^2) dx\right)\times\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \cos(y^2) dy\right)$$ por coordenadas polares. Utilice la fórmula $2\cos x\cos y= \cos(x-y)+\cos(x+y)$ dividirlo en dos partes y concluir que una de ellas es cero.

Answer 2

Utilizando una sustitución, $\cos\theta = \text{Re}(e^{i\theta})$ y la transformada (directa e inversa) de Laplace: $$\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\cos(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\text{Re}\int_{0}^{+\infty}e^{(i-1)x}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\cdot\text{Re}\int_{0}^{+\infty}\frac{ds}{\sqrt{\pi s}\left((1-i)+s\right)}$$ por lo tanto:

$$ \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\cos(x^2)\,dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\text{Re}\int_{0}^{+\infty}\frac{ds}{(1-i)+s^2} $$ y la afirmación se deduce fácilmente.

Answer 3

Así que sigamos la sugerencia de Eclipse Sun. Al hacerlo comprobaremos que, si bien la integral doble puede efectivamente separarse en dos partes (dos integrales dobles), ninguna de ellas resulta ser igual a cero.

Sea $$I = \int^\infty_{-\infty} e^{-x^2} \cos (x^2) \, dx = 2 \int^\infty_0 e^{-x^2} \cos (x^2) \, dx.$$ elevando al cuadrado la integral tenemos \begin{align*} I^2 &= 4 \left(\int^\infty_0 e^{-x^2} \cos(x^2) \, dx\right)\times\left(\int_{0}^{\infty} e^{-y^2} \cos(y^2) \, dy\right)\\ &= 4 \int^\infty_0 \int^\infty_0 e^{-(x^2 + y^2)} \cos (x^2) \cos (y^2) \, dx dy. \end{align*} Después de utilizar $2\cos x\cos y= \cos(x-y)+\cos(x+y)$ tenemos $$I^2 = 2 \int^\infty_0 \int^\infty_0 e^{-(x^2 + y^2)} \cos (x^2 + y^2) \, dx dy + 2 \int^\infty_0 \int^\infty_0 e^{-(x^2 + y^2)} \cos (x^2 - y^2) \, dx dy.$$

Conversión a coordenadas polares $(x,y) \mapsto (r \cos \theta, r \sin \theta)$ tenemos $$I^2 = 2 \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^\infty_0 r e^{-r^2} \cos (r^2) \, dr d\theta + 2 \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^\infty_0 r e^{-r^2} \cos (r^2 \cos 2\theta ) \, dr d\theta = 2 I_1 + 2 I_2.$$

Para la primera de estas integrales, la $r$ -puede hallarse realizando la integración por partes dos veces antes de realizar la $\theta$ -integración. El resultado es $I_1 = \pi/8$ .

Para la segunda de estas integrales, encontrar la $r$ -integral primero realizando la integración por partes dos veces, conduce a $$I_2 = \frac{1}{2} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{d\theta}{1 + \cos^2 (2\theta)} = \frac{\pi}{4\sqrt{2}}.$$

Así $$I^2 = 2 \left [\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \right ] = \frac{\pi}{4} (1 + \sqrt{2}),$$ o $$I = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sqrt{1 + \sqrt{2}},$$ según sea necesario.

Answer 4

Que se etiquete su integral $$I_1=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\cdot \cos(x^2)\space dx,$$ y una segunda integral $$I_2=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\cdot\sin(x^2)\space dx.$$ De ello se deduce que $$I_1-i\cdot I_2=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\cdot(\cos(x^2)-i\cdot \sin(x^2))\space dx.$$ Aplicar la fórmula de Euler en el análisis complejo: $$I_1-i\cdot I_2=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\cdot e^{-ix^2} dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(1+i)x^2}dx.$$ Sea $x=(1+i)^{-1/2}\ t$ tal que $dx=(1+i)^{-1/2}\ dt$ donde $t\in(-\infty,\infty)$ : $$I_1-i\cdot I_2=(1+i)^{-1/2}\cdot\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt.$$ Evalúa la integral de Gauss: $$I_1-i\cdot I_2=(1+i)^{-1/2}\cdot\sqrt{\pi}.$$ Reescribe la expresión haciendo uso de las propiedades generales de la función exponencial y de los logaritmos: $$I_1-i\cdot I_2=e^{\ln((1+i)^{-1/2})}\cdot\sqrt{\pi}=e^{-1/2\ln(1+i)}\cdot\sqrt{\pi}.$$ El número complejo $1+i$ puede convertirse de notación cartesiana a notación polar; $1+i=\sqrt{2}\space e^{i \pi/4}$ . Tomando el logaritmo natural de ambos lados se obtiene $\ln(1+i)=\ln(\sqrt{2}\space e^{i \pi/4})=\ln(\sqrt{2})+i \pi/4$ . Por lo tanto,

$$I_1-i\cdot I_2=e^{-1/2(\ln(\sqrt{2})+i \pi/4)}\cdot\sqrt{\pi} = e^{\ln(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}}})}\cdot e^{-i \pi/8}\cdot\sqrt{\pi}=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}}}\cdot e^{-i \pi/8}\cdot \sqrt{\pi}.$$

Aplicar la fórmula de Euler en el análisis complejo: $$I_1-i\cdot I_2=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}}}\cdot (\cos(\pi/8)-i\cdot \sin(\pi/8))\cdot \sqrt{\pi}.$$

Vuelva a escribir $\cos(\pi/8)$ utilizando la fórmula del semiángulo para la función coseno, $\cos(x)=2\cos^2(x/2)-1$ : $$\cos(\pi/4)=2\cos^2(\pi/8)-1\rightarrow \cos^2(\pi/8)=\frac{1+\cos(\pi/4)}{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}.$$ Entonces, $\cos(\pi/8)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ .

Vuelva a escribir $\sin(\pi/8)$ utilizando la fórmula del semiángulo para la función seno, $\cos(x)=1-2\sin^2(x/2)$ : $$\cos(\pi/4)=1-2\sin^2(\pi/8)\rightarrow \sin^2(\pi/8)=\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}=\frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}.$$ Entonces, $\sin(\pi/8)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ .

La sustitución en la expresión da $$I_1-i\cdot I_2=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}}}\cdot (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})\cdot \sqrt{\pi}= (\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2})\cdot \sqrt{\pi}.$$ Tras ampliar los términos se deduce que $$I_1=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2}\cdot \sqrt{\pi},\space I_2=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}\cdot \sqrt{\pi}.$$ La integral que querías evaluar es $I_1$ .