Demostrar la existencia/inexistencia de $\lim_{x\rightarrow0} x\tan\frac1x$

Question

Encuentre $$\lim_{x\rightarrow0} x\tan\frac1x$$

Ahora he intentado encontrar la forma del límite ( $0/0$ o $0\cdot \infty$ o $\infty/\infty$ ), pero como $x\rightarrow 0$ , $\tan(1/x)$ tiende a $\tan \infty$ y puesto que $\tan x$ no tiene límites, a diferencia de $\sin x$ o $\cos x$ no se puede asumir ningún valor o rango en particular para $\tan(1/x)$ .

Luego intenté encontrar LHL y RHL.

Sea $\lim_{x\rightarrow0^+} x\tan{(1/x)}=L$ .

Entonces $\lim_{x\rightarrow0^-} x\tan{(1/x)}=-L$ ya que $x$ se acerca por el lado negativo, la entrada $1/x$ de $\tan$ es el negativo de la entrada en RHL, y $\tan (-x)=-\tan x$

Ahora bien, si el límite existe, entonces $LHL=RHL$ Así pues $L=0$ .

De este modo conseguí que si el límite existe, entonces debe ser igual a $0$ . Pero esto no confirma que el límite exista (y no existe).

Por favor, ayúdame a demostrar que el límite no existe, y también por favor señalar los errores (si los hay) en el argumento que he presentado anteriormente (lo siento por que podría ser débil en los límites y los fundamentos de la misma)

EDITAR: Como señala Shubham en los comentarios, olvidé tomar el signo de $x$ también en el $LHL$ haciendo así que el argumento que probaba $L=0$ discutible.

GRACIAS

Answer 1

Sea $f(x)=x\tan(1/x)$ cuando $x\neq 0.$

Si $a_n=\frac{1}{2\pi n}$ entonces $f(a_n)=0$ para todos $n.$ Así $$\lim_{n\to\infty} f(a_n)=0.$$

Por otra parte, dejemos que $$b_n=\frac1{2\pi n+\arctan(n)}$$

Entonces $$\frac{n}{(2n+1)\pi}<f(b_n)<\frac{n}{2n\pi}$$ así que por el teorema del apretón, $$\lim_{n\to\infty} f(b_n)=\frac{1}{2\pi}$$

Por último $$c_n=\frac1{2\pi n+\arctan(n^2)}$$ y mostrar $f(c_n)\to +\infty.$

Pero $a_n,b_n,c_n$ convergen a $0,$ así que $$\lim_{x\to 0} f(x)$$ no puede existir.

(Sólo necesitábamos dos de estas tres secuencias para refutar la convergencia).

Answer 2

El límite no existe. Consideremos la secuencia $xn=\{2/n\pi\} = \{2/\pi, 1/\pi, 2/3\pi, 1/2\pi, \}$ $y_n = x_n *\tan(x_n)$ En $x_n\to0, \tan(x_n)$ NO existe como $\tan(x_n)$ varía de $-\infty$ a $+\infty$ .

$x_n$ se comporta bien, $\tan(x_n)$ NO lo es. $y_n$ no se comporta bien.