Triángulo rectángulo con igual perímetro y altura - ¿cómo hallar las longitudes de los lados?

Question

La cuestión:

Supongamos un triángulo rectángulo de lados $a$ y $b$ a hipotenusa $c$ . Su perímetro es igual a su área, y $b = 6$ . ¿Cuál es la longitud de sus lados?

No sé cómo hacerlo. La segunda frase no es especialmente útil:

$$a + c + 6 = \frac{6a}{2}$$ $$a + c + 6 = 3a$$ $$???$$

Y tampoco consigo nada con el Teorema de Pitágoras:

$$a^2 + 36 = c^2$$ $$c^2 - 36 = a^2$$ $$(c + 6)(c - 6) = a^2$$ $$???$$

¿Cómo resuelvo este rompecabezas?

Answer 1

Si $a=6$ el área es igual a $(6b)/2=3b$ . Si es igual al perímetro, entonces $a+b+c=3b$ así que $a+c=2b$ así que $6+c=2b$ . También sabe que $a^2+b^2=c^2$ así que $36+b^2=c^2$ .

Desde el $6+c=2b$ obtienes $c=2b-6$ y así $36+b^2=(2b-6)^2$ . Expanda y obtendrá una cuadrática en $b$ .