¿Reducción estándar al caso local artiniano?

Question

¿Dónde puedo encontrar una exposición clara de la llamada "reducción estándar al artiniano local (con campo residuo algebraicamente cerrado", frase que leo en todas partes pero que nunca se despliega del todo?

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EDIT: Aquí, era una pregunta mal planteada.

Answer 1

Querido Workitout: La lista de comentarios anteriores se está volviendo difícil de manejar, así que permíteme publicar una respuesta aquí, ahora que finalmente has identificado 1.10.1 en Katz-Mazur como (al menos una) fuente de la pregunta. Como predije, verás que la técnica básica que hay que utilizar se adapta a muchas otras situaciones, y que es muy difícil formular un "metateorema" que cubra todos los casos. El único método seguro que conozco es leer todas las secciones 8, 9, 11 y 12 de EGA IV. $_3$ y las secciones 17 y 18 de EGA IV $_4$ y luego se convierte en algo rutinario. Tal vez haya un método mejor (bueno, se me ocurre uno, pero no lo diré aquí). Utilizaré la terminología y la notación alrededor de 1.10.1 de Katz-Mazur sin la explicación abajo.

Al ser un "conjunto completo de secciones" de $Z/S$ es algo que basta comprobar utilizando los constituyentes de una única cubierta afín abierta de $S$ y también un conjunto generador finito del anillo de coordenadas de $Z$ sobre cada uno de estos abiertos. Así, trabajando Zariski-localmente sobre $S$ podemos suponer $S = {\rm{Spec}}(R)$ y que ambos lados de (1) en KM 1.10.1 tienen $R$ -anillos de coordenadas libres (vistos como anillos finitos $R$ -), y lo mismo para su suma (como divisores efectivos de Cartier). Ahora bien, las afirmaciones (1) y (2) de KM 1.10.1 son identidades entre un número finito de elementos de algún sistema libre finito. $R$ -módulos. Por ejemplo, (1) afirma que ciertos elementos de un módulo libre finito $R$ -tienen imagen evanescente en un módulo libre finito $R$ -cociente de módulo. Todo esto es ahora un montón de identidades entre finitamente muchos elementos de $R$ .

Bien, por fin llegamos a la parte con una idea real. Consideremos el subring $R_0$ de $R$ generado sobre $\mathbf{Z}$ generada por esos elementos finitos. Es noetheriano. Ahora, por desgracia, su configuración inicial algebro-geométrica sobre $R$ (la curva suave separada de tipo finito $C$ los diversos divisores relativos efectivos de Cartier, etc.) probablemente no surja mediante un cambio de base a partir de la misma configuración exacta (¡incluidas las propiedades de planitud!) sobre $R_0$ . Pero eso no importa: lo que realmente sería estupendo es que algunos subring noetheriano de $R$ que contiene $R_0$ permite tal descenso de la situación. Ahora exprese $R$ como límite directo de su finitamente generado $R_0$ -(todas ellas noetéricas). ¿Desciende toda la situación a una de ellas? Si así fuera, estaríamos en buena forma, ya que bastaría con resolver el problema en el caso de un anillo base noetheriano (ya que eso implicaría el resultado sobre $R$ mediante un cambio de base adecuado del descenso desde el subring noetheriano hasta $R$ ).

¿Cómo implementar esta estrategia de reducción al caso noetheriano (tras lo cual tendremos que ocuparnos del paso a la base local de artin con campo de residuos algebraicamente cerrado)? Bien, aquí es donde todos somos muy afortunados de que Grothendieck escribiera todo el formalismo con todo detalle para tratar básicamente todas las situaciones de este tipo que uno pudiera querer tratar. Así que se convierte en una especie de juego encontrar las referencias en EGA (que admito que es difícil de hacer si uno no sabe dónde buscar, pero es realmente fácil si uno ha leído las partes correctas). Para tu situación particular con algunas curvas separadas suaves y algunos divisores de Cartier efectivos relativos, etc., los resultados que necesitas son: EGA IV $_3$ 8.3.4, 8.9.1, 8.10.5 (por ejemplo, (v)), 9.2.6.1, 11.2.6(ii), y IV $_4$ 17.7.9.

No voy a decir más sobre cómo combina esas referencias aquí; ahí es donde vuelvo a recordarle su seudónimo.

OK, ahora $R$ es noetheriano (incluso de tipo finito sobre $\mathbf{Z}$ que es un material extra muy útil para otras discusiones con excelencia más adelante en la vida), y estás tratando de probar alguna colección finita de identidades entre elementos de $R$ . Para ello basta con comprobar en los anillos locales de $R$ así que puedes asumir $R$ es local. Ahora bien, un par de elementos de un anillo noetheriano local son iguales si y sólo si tienen imágenes iguales en cada cociente artiniano (teorema de la intersección de Krull). Así pues, basta con demostrar el resultado general sobre anillos locales artinianos arbitrarios (en realidad, sólo los cocientes artinianos de anillos finitamente generados). $\mathbf{Z}$ -así que no hay ninguna tontería de cuantificación teórica de conjuntos). Ahora $R$ es artin local. Para comprobar una identidad en un anillo basta con hacerlo en un anillo de extensión fielmente plano. Así que finalmente sacamos EGA 0 $_{\rm{III}}$ 10.3.1 para encontrar una extensión local artin fielmente plana con un campo residuo algebraicamente cerrado. Ya está.

Supongo que ahora comprenderá por qué cualquiera que sepa cómo rellenar tales argumentos nunca los escribe realmente en los documentos: es mucho más sencillo decir "por métodos límite estándar de EGA IV". $_3$ secciones 8,9, etc." (tal vez incluso ser un poco más específico, como K-M al principio de su 1.8.1), y confiar en que el lector capte la pista de que debe leer esas partes de EGA si quiere entender por sí mismo lo que sucede en tales argumentos. Es malo cuando la gente no menciona al menos la relevancia de las secciones 8, 9, etc., pero las cosas podrían ser peores (por ejemplo, Grothendieck podría no haber escrito EGA, dejando las cosas en un completo lío en cuanto a referencias).

Answer 2

Ya que fui algo crítico con la pregunta, me gustaría ofrecer aquí algunas razones por las que la frase: "reducción al caso local artiniano" puede significar algo muy diferente para un algebrista (también era vagamente consciente del uso geométrico que explicaba BCnrd, por eso pedí al OP que lo aclarara).

Demostrar algunas afirmaciones sobre un anillo conmutativo $R$ una técnica muy utilizada es pasar al cociente de $R$ por un no zerodivisor. Se trata de un análogo local de "tomar la sección del hiperplano" en geometría. Para ejemplos de esta técnica, véase la demostración de la fórmula Auslander-Buchsbaum en Bruns-Herzog, o esto responder .

Ahora bien, si el anillo con el que empezaste es local y de Cohen-Macaulay, entonces después de matar suficientes elementos regulares acabaste en un anillo local artiniano $(A,m,k)$ . Hay un montón de cosas buenas sobre tales anillos: todos los módulos f.g. tienen longitudes finitas, el grupo Grothendieck es $\mathbb Z$ la dualidad local es tan sencilla como $A$ ya está completa, la teoría de la representación está bien estudiada, bla, bla...

A veces también se desea que el campo de residuos $k$ es algebraicamente cerrado. Esto se puede obtener haciendo una extensión fielmente plana por el resultado EGA BCnrd mencionado. He aquí algunos ejemplos en los que tal extensión es útil:

1) El Carcaj Auslander-Reiten es más fácil de escribir (todas las flechas tienen valoraciones triviales).

2) Si $A$ es una intersección completa, entonces se puede adjuntar a cada par de $A$ -módulos $M,N$ a $k$ -cuya dimensión es igual a la tasa de crecimiento (polinómico) de las longitudes de $\text{Ext}^i(M,N)$ . Esto tiene la consecuencia no trivial de que $\text{Ext}^i(M,N)$ y $\text{Ext}^i(N,M)$ ¡crecen al mismo ritmo! (véase este documento ).

3) Demostrar que sólo existen finitamente muchos semi-dualización sobre álgebras de Cohen-Macaulay, la única prueba conocida es pasar al caso artiniano con alg. de campo cerrado y luego utilizar resultados relevantes de la teoría de la representación.

Mi esperanza es que aunque este post no haya respondido a lo que el OP quería preguntar, quizás pueda ser de ayuda a alguien que busque en google "reducción a caso artiniano" con diferente motivación y encuentre esta pregunta de MO.