Entiendo que una distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma. Sin embargo, considero que las afirmaciones de que "las matemáticas simplemente funcionan" no son útiles para recordar o entender la relación.
¿Existe una manera satisfactoria de relacionar estas dos distribuciones? Por ejemplo, ¿hay una forma de conectar la interpretación del proceso de Poisson de la gamma con la interpretación de "la suma de cuadrados de normales iid" de la chi-cuadrado? ¿Por qué la gamma tiene algo que ver con las v.a. gaussianas que han sido elevadas al cuadrado?
Para posible referencia, alguna intuición que tengo actualmente:
- Intuyo la distribución gamma como el tiempo de espera para la $k$-ésima llegada en un proceso de Poisson. Esto respalda la idea de que v.a. gamma independientes (con el mismo parámetro de tasa) pueden sumarse para formar otra distribución gamma.
- Una distribución gamma con un parámetro de forma grande se puede pensar como la suma de muchas v.a. gamma independientes con parámetros de forma más pequeños. Por el Teorema del Límite Central, la gamma converge a una distribución normal a medida que el parámetro de forma crece. (Lo mismo ocurre con la distribución chi-cuadrado.)
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No conozco (y no pude encontrar) ninguna relación entre el proceso de límite que produce gaussianas (el TCL) y el que produce un proceso de Poisson (superposición y adelgazamiento).
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@ThomasLumley Tal vez esto sea de interés para ti como respuesta a este supuesto misterio.
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Póngalo de manera directa, uno puede conectar el Binomial con el Poisson, el Exponencial con el Gamma, pero no el Gamma con el Chi-cuadrado más que solo comparando PDFs... y decir, vean que son lo mismo... Debe haber intuición física.