¿Es la serie $\sum \sin^n(n)$divergentes?

Question

Estoy casi seguro que el $\sum \sin^n(n)$ de la serie no es convergente, pero falta la prueba. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Cualquier irracional $r$ (en particular $\pi/2$) hay infinitamente muchos % de fracciones $p/q$, que $|r - p/q| < 1/q^2$. IIRC, podemos especificar que $q$ es extraño, quizás a costa de cambiar $1/q^2$ $c/q^2$ $c$ constante. Tomando el $r = \pi/2$, esto dice $|q \pi/2 - p| < c/q$ y $|\sin p| > 1 - c^2/(2 q^2)$ y $|\sin p|^p > (1-c^2/(2 q^2))^p$. Ahora como $q \to \infty$ $p \approx q \pi/2$, $(1 - c^2/q^2)^p \to 1$. Por lo tanto cualquier $\epsilon > 0$ hay infinitamente muchos $n$ $|\sin n|^n > 1 - \epsilon$.

Answer 2

El uso continuado de la fracción de aproximación, sabemos que para cualquier entero positivo $N$, podemos encontrar enteros $q>N$$p$, de modo que $$ \left|p-q\frac\pi2\right|<\frac1q\etiqueta{1} $$ También es cierto que no hay dos consecutivos denominadores pueden compartir un factor común. Por lo tanto, si una aproximación tiene un denominador, el siguiente debe ser impar. Así que supongamos que $q$ es impar y $(1)$ es cierto. Entonces, desde el $\sin\left(q\frac\pi2\right)=(-1)^{(q-1)/2}$ $\cos\left(q\frac\pi2\right)=0$ la Serie de Maclaurin de los rendimientos

$$ \begin{align} (-1)^{(q-1)/2}\sin(p) &\ge1-\frac12\left(p-q\frac\pi2\right)^2\\ &\ge1-\frac{1}{2q^2}\tag{2} \end{align} $$ Por lo tanto, la continuación de la fracción aproximaciones $\frac{p}{q}$ $\frac\pi2$con denominadores impares $|\sin(p)|\ge1-\frac{1}{2q^2}$. Tomando el $\liminf$ $q\to\infty$ rendimientos $$ \begin{align} \liminf_{p\to\infty}|\sin(p)|^p &\ge\lim_{p\to\infty}\left(1-\frac{1}{2q^2}\right)^p\\ &=\lim_{q\to\infty}\left(1-\frac{1}{2q^2}\right)^{q\pi/2}\\ &=1\tag{3} \end{align} $$ La desigualdad de $(3)$ implica que $$ \limsup_{n\to\infty}|\sin^n(n)|=1\etiqueta{4} $$ Dado que los términos no tienden a $0$, $$ \sum_{n=0}^\infty\sin^n(n) $$ no convergen.

Answer 3

Sugerencia: Si $\frac{n}{k}$ es una aproximación de «buena» a $\frac{\pi}2$ y $k$ es raro y grande, entonces $|\sin^n n|$ está cerca de $1$.