resumiendo Seguro que podemos llamar a Gourgoulhon's $K$ "la duración de un periodo de un reloj ideal (de tic-tac)"; y la inversa, $1/K$ la tasa (de tic-tac)". Y podemos pensar en relojes (de tic-tac) distintos que tienen ritmos (de tic-tac) desiguales, por ejemplo, un reloj atómico frente a un reloj de pulsera mecánico; quizá incluso nos encontremos con algunos de ellos.
Preliminares sobre terminología y notación
La pregunta de la OP contenía una cita bastante selectiva de la definición de Éric Gourgoulhon de un reloj ideal de "Relatividad especial en marcos generales: De las partículas a la astrofísica" (2013), secc. 2.3.2, y en primer lugar me gustaría rellenar algunas lagunas de terminología y notación según mi propia preferencia:
Según los pasos (i) y (ii) de la definición citada, un reloj es un dispositivo físico, considerado como una aproximación a un "punto (material)", que sigue un (cierto segmento de una) línea temporal del mundo; y cualquier línea mundial consiste en eventos, por supuesto.
Sin embargo, en un acontecimiento cualquiera, en general, pueden haber participado varios "puntos (materiales)" distintos; y puede pensarse que cada uno de ellos se aproxima a un reloj distinto. Y algunos de esos relojes pueden indicar un garrapata (y, de hecho, cada uno de ellos su propio "tipo de" garrapata distinguible), ya que participan conjuntamente en el acontecimiento concreto que nos ocupa; y otros pueden no hacerlo.
Por lo tanto, cada tictac de un reloj no debería constituir un acontecimiento completo en el que participó el reloj (como prescribe Gourgoulhon), sino sólo la parte del acontecimiento que es atribuible al reloj distintivo en cuestión, "su indicación en este acontecimiento"; sin las "partes del acontecimiento" ("indicaciones") de cualquier otro reloj que haya participado en este mismo acontecimiento, y cuyas propias indicaciones en este acontecimiento pueden o no haber sido también tictacs.
En consecuencia, un reloj sí tiene una secuencia de tics que muestrean su línea del mundo, como se estipula en el paso (iii) de la definición; pero esos tics no son acontecimientos completos, sino ciertas indicaciones conspicuas de este reloj.
La notación debe y puede expresar estas consideraciones:
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letras simples como $A$ para un dispositivo físico identificable, o el punto material aproximado correspondiente;
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el conjunto ordenado $\mathcal A$ para las indicaciones de tick que se indican y señalan mediante $A$ ;
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una enumeración específica, uno a uno, consecutiva de esos ticks, como función $t_{\mathfrak A} : \mathcal A \longleftrightarrow \mathbb Z$ .
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Un reloj específico $\mathfrak A$ se caracteriza entonces por todo ello, explícitamente como un triple de símbolos: $\mathfrak A \equiv (A, \mathcal A, t_{\mathfrak A})$ .
El equivalente correspondiente de la ecuación de Gourgoulhon (2.11), (página 33) que puede considerarse la esencia de la definición de un reloj ideal y donde el factor constante $K$ hace su primera aparición, podría escribirse como
$$\tau [ \, (t_{\mathfrak A})^{(-1)}[ \, j \, ], (t_{\mathfrak A})^{(-1)}[ \, j + N \, ] \, ] = K \, N. \tag{1} $$
O más directamente, por ejemplo
$$\tau [ \, A_{(j)}, A_{(j + N)} \, ] = K \, N. \tag{2} $$
Al nombrar el factor constante $K$ y su inversa, $1/K$
Seguro que podemos llamar a Gourgoulhon's $K$ "la duración de un periodo de un reloj ideal (de tic-tac)"; y la inversa, $1/K$ "el ritmo (del tic-tac)".
La cantidad $\tau$ que se refiere a un segmento específico de la línea del mundo de un punto material específico $A$ también puede llamarse " $A$ (desde una de sus indicaciones, hasta otra)".
Y para dos indicaciones de garrapata distintas (y claramente enumeradas) $A_{(p)}$ y $A_{(q)}$ de un reloj ideal $\mathfrak A$ la relación $$\frac{(q - p)}{\tau [ \, A_{(p)}, A_{(q)} \, ]} \equiv K_{\mathfrak A}$$ es una expresión y el valor de su tasa de tictac.
Comparación y posible desigualdad de los ritmos (de tictac) de distintos relojes (ideales)
De los ritmos de tictac constantes por separado de dos relojes, $\mathfrak A$ y $\mathfrak B$ su relación puede expresarse y evaluarse como
$$ \frac{K_{\mathfrak A}}{K_{\mathfrak B}} = \left(\frac{(q - p)}{(v - u)}\right) \times \left( \frac{\tau [ \, B_{(u)}, B_{(v)} \, ]}{\tau [ \, A_{(p)}, A_{(q)} \, ]} \right), \tag{3} $$
para dos indicaciones de tick distintas (y claramente enumeradas) $A_{(p)}$ y $A_{(q)}$ de reloj ideal $\mathfrak A$ y dos indicaciones de garrapata distintas (y claramente enumeradas) $B_{(u)}$ y $B_{(v)}$ de reloj ideal $\mathfrak B$ .
Si esta relación se evalúa como $1$ entonces relojes $\mathfrak A$ y $\mathfrak B$ se dice que han marcado a ritmos iguales; en caso contrario, a ritmos desiguales. (Cómo medir la relación entre dos duraciones en sí, por ejemplo, cómo evaluar el término derecho de la expresión (3), es por supuesto un tema en sí mismo, que se trata en la teoría especial y en la teoría general de la relatividad).
