Convergencia débil de medidas que implica convergencia casi segura de variables aleatorias

Question

Supongamos que $\mu,\mu_n$ son medidas de probabilidad de Borel sobre $\mathbb{R}$ con $\mu_n$ que converge débilmente a $\mu$ . Se me pide que encuentre algún espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ y variables aleatorias $X,X_n$ tal que $X$ tiene derecho $\mu$ , $X_n$ tiene derecho $\mu_n$ y $X_n \to X$ casi con la misma seguridad que $n \to \infty$ .

Hasta ahora he intentado $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) = ((0,1),\mathcal{B}_{0,1},\text{Lebesgue})$ y definió $X_n$ en cuanto a $\omega \in (0,1)$ dejamos que $X_n(\omega) = \inf\{x \in \mathbb{R}: \omega \in \mu_n((-\infty,x])\}$ . Entonces $\mathbb{P}(X_n \in (-\infty,x]) = \mathbb{P}(X_n^{-1}((-\infty,x])) = \mu_n((-\infty,x])$ así que $X_n$ tiene derecho $\mu_n$ y análogamente para $X$ .

Sin embargo, no puedo demostrar que $X_n \to X$ casi seguro. He intentado usar la contradicción, si $X_n \not\to X$ casi seguro entonces tenemos que $|X_n-X| \geq 0$ y ésta no converge a 0 casi con seguridad. Entonces la integral de esto no converge a $0$ como $n \to \infty$ . Sin embargo, en este punto me quedo atascado. No veo dónde debo introducir el hecho de que $\mu_n \to \mu$ débilmente.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Sea $\mu_n$ , $\mu$ sean medidas de probabilidad sobre $\mathbb{R}$ tal que $\mu_n$ converge débilmente a $\mu$ . Las funciones de distribución acumulativa asociadas $$F_n(x) := \mu_n((-\infty,x]) \qquad F(x) := \mu((-\infty,x])$$ entonces satisface $$F_n(x) \to F(x) \tag{1}$$ para cualquier punto de continuidad $x$ de $F$ .

Lema Denote por $$\begin{align*} F_n^{-1}(t) &:= \inf\{x \in \mathbb{R}; F_n(x) \geq t\} \\ F^{-1}(t) &:= \inf\{x \in \mathbb{R}; F(x) \geq t\} \end{align*}$$ las funciones inversas generalizadas de $F_n$ y $F$ respectivamente. Si $t \in (0,1)$ es un punto de continuidad de $F^{-1}$ entonces $$\lim_{n \to \infty} F_n^{-1}(t) = F^{-1}(t). \tag{2}$$

Una vez demostrado el resultado, encontramos inmediatamente que la secuencia de variables aleatorias definida en su pregunta $$X_n(t) = F_n^{-1}(t) \qquad X(t) = F^{-1}(t)$$ satisface $X_n(t) \to X(t)$ para cualquier punto de continuidad $t$ de $F^{-1}$ como $F^{-1}$ tiene a lo sumo un número contable de discontinuidades, lo que demuestra que $X_n \to X$ casi seguro.

Demostración del lema: Sea $t \in (0,1)$ sea un punto de continuidad de $F^{-1}$ . Desde $F$ tiene a lo sumo un número contable de discontinuidades, podemos encontrar para cualquier $\epsilon>0$ un punto de continuidad $x$ de $F$ tal que $$F^{-1}(t)- \epsilon< x < F^{-1}(t).$$ En $$x < F^{-1}(t) \implies F(x) < t$$ y $\lim_n F_n(x) = F(x)$ tenemos $F_n(x)<t$ para grandes $n \in \mathbb{N}$ y la definición de la inversa da como resultado $x \leq F_n^{-1}(t)$ . En consecuencia, $$F^{-1}(t) - \epsilon < x \leq F_n^{-1}(t)$$ que implica $$F^{-1}(t) \leq \liminf_{n \to \infty} F_n^{-1}(t).$$ Queda por demostrar que $$\limsup_{n \to \infty} F_n^{-1}(t) \leq F^{-1}(t). \tag{3}$$ Con este fin, observamos que para cualquier $u>t$ y $\epsilon>0$ podemos encontrar un punto de continuidad $y$ de $F$ tal que $$F^{-1}(u) < y < F^{-1}(u)+\epsilon.$$ Esto implica $$F(y) \geq u > t.$$ En $y$ es un punto de continuidad de $F$ Esto significa que $F_n(y) \geq t$ para grandes $n \in \mathbb{N}$ . Por lo tanto, $y \geq F_n^{-1}(t)$ y así $$F^{-1}(u)+\epsilon > y \geq F^{-1}_n(t)$$ para grandes $n$ . Así, $$\limsup_{n \to \infty} F_n^{-1}(t) \leq F^{-1}(u).$$ Dejar $u \downarrow t$ encontramos a partir de la continuidad (derecha)de $F^{-1}$ en $t$ que $(3)$ retenciones.

Referencia: Teorema 8.3.2 en S.I. Resnick: Una vía de probabilidad , Birkhäuser 2013.