Volumen entre una esfera y 4 planos

Question

Dada la figura adjunta, nos interesa el volumen comprendido entre la esfera de radio R centrada en $O$ dada por la ecuación de la esfera $x^2 +y^2+z^2=R^2$ y los cuatro planos descritos:

Plano AOC con ecuación $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z = D_{1}$

Plano COB con ecuación $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z = D_{2}$

Plano AOB con ecuación $a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z = D_{3}$

Plano ABC con ecuación $a_{4}x+b_{4}y+c_{4}z = D_{4}$

El volumen resultante es el volumen entre el plano ABC y el triángulo esférico. ¿Cómo se puede extraer?

Volumen subtendido por 3 puntos de la esfera y el plano correspondiente

Answer 1

Pista:

Una vez que tengas el tetraedro $O,A,B,C$ entonces usted puede encontrar el ángulo sólido que subtiende en $O$ aplicando la fórmula que figura en el enlace.

A partir de ahí se obtiene el volumen de la "pirámide esférica", y el resto se deduce fácilmente.

Dado que desea un enfoque alternativo como control, los puntos $A,B,C$ se sitúan en grandes círculos, como también se sitúan en planos que pasan por el origen. Por lo tanto, son Triángulo esférico , del que conoces todos los parámetros una vez que tienes los vectores desde el origen: vértices, lados, ángulos, etc. Así que puedes utilizar las fórmulas de la trigonometría esférica para comprobarlo.

Por último, si quieres pasar por la integración, utiliza coordenadas cartesianas.
Toma , por ejemplo $OA$ como el $z$ eje. Tomemos el plano longitudinal que biseca $OAB, OAC$ como el $xz$ y obtener las proyecciones simétricas correspondientes $B',C'$ de $B,C$ en el $xy$ avión.
Proyectar el gran círculo en $OBC$ en el $xy$ plano: se obtiene una elipse con semiejes $R \cos \theta, R$ .
Integrar más de $(x,y)$ dentro de la elipse, y dentro de las líneas $OB', \,OC'$ y con $z$ que van desde el plano $OBC$ a la esfera.