Decidir cuándo utilizar $\mu^2$ o $-\mu^2$ en separación de variables (EDP)

Question

Tengo la siguiente pregunta

Consideremos la EDP bidimensional en $u = u(x,y)$ $$u_{xx}-u_{yy}=0$$ $$u(x,0)=\phi(x)$$ $$u_y(x,0)=0$$ donde $\phi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es función de una variable. Sea $$\phi(x)=\frac{3}{10}x\;\;\; \text{if}\; 0\leq x\leq\frac{1}{3}$$ $$\phi(x)=\frac{3}{20}(1-x)\;\;\; \text{if}\; \frac{1}{3}\leq x\leq 1$$ Demuestre que si $x$ se restringe al intervalo finito $[0, 1]$ y $u$ i debe cumplir los límites $$u(0, y) = 0\;\; \text{and}\;\; u(1, y) = 0\;\;\; \forall y \in \mathbb{R}$$ entonces el método de Separación de Variables da una solución de la fo $$u(x,y)=\sum_{n\geq 1} \alpha_n \sin(\beta_n x)\cos(\gamma_n y)$$ Su respuesta debe incluir fórmulas precisas para las constantes $\alpha_n, \beta_n, \gamma_n$ .

Ahora puedo empezar la pregunta fácilmente, llegando a $$u(x,y)=f(x)g(y)$$ $$\Rightarrow f''(x)g(y)-f(x)g''(y)=0$$ $$\Rightarrow \frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g''(y)}{g(y)}$$ Ahora es cuando me atasco. Mi profesor dijo que pusiera en esta ecuación una constante positiva o negativa al cuadrado. Entiendo por qué hacemos esto, pero nunca puedo determinar qué signo utilizar. Y creo que no debería importar pero acaba importando. Si en este ejemplo tomo $$\Rightarrow \frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g''(y)}{g(y)}=-\mu^2$$ Entonces las ecuaciones resultantes me dan $$f(x)=A_\mu\cos(\mu x)+B_\mu \sin(\mu x)$$ $$g(y)=C_\mu\cos(\mu y)+D_\mu \sin(\mu y)$$ Que parece ir por buen camino. Sin embargo, tomar $\mu^2$ me da $$f(x)=A_\mu\cosh(\mu x)+B_\mu \sinh(\mu x)$$ $$g(y)=C_\mu\cosh(\mu y)+D_\mu \sinh(\mu y)$$ Que claramente no es el mismo camino. Así que además de trabajar realmente a través de ambos caminos ¿hay alguna manera para mí para detectar $\textit{a priori}$ qué versión utilizar. Perdón por el post tan largo.

Answer 1

El procedimiento completo consiste en igualar ambos lados a una constante arbitraria $\lambda$ . Entonces tenemos que resolver $f''(x) = \lambda f(x)$ con las condiciones de contorno $f(0)=f(1)=0$ y hay tres casos:

• $\lambda > 0$ da el caso hiperbólico, y (como puedes comprobar por ti mismo) la única función en esta familia de soluciones que satisface las condiciones de contorno es $f(x)=0$ lo que carece de interés, ya que estamos buscando funciones de base para utilizarlas como bloques de construcción de soluciones más complicadas.
• $\lambda = 0$ da $f''(x)=0$ Así que $f(x)=Ax+B$ . De nuevo sólo $f(x)=0$ satisface las condiciones de contorno, así que aquí tampoco hay nada interesante.
• $\lambda < 0$ da el caso trigonométrico, donde (para algunos valores particulares de $\lambda$ ) podemos encontrar algunas soluciones no triviales que satisfacen las condiciones de contorno.

Con la experiencia, uno reconoce que es sólo el tercer caso el que da algo interesante, y va directamente a ese caso (escribiendo $\lambda = -\omega^2$ por comodidad).

(¡Pero cuidado! Si el problema fuera diferente para que las condiciones de contorno fueran $f'(0)=f'(1)=0$ en cambio, también hay una importante contribución del caso intermedio $\lambda=0$ que no hay que olvidar).