Punto de la línea equidistante de $A$ y $B$

Question

En la línea $l$ encontrar el punto equidistante de $A$ y $B$ .

$A(3,2,0), \quad B(1,1,1), \quad l : \begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = t + 2 \\ z = 2t - 1 \end{cases} t \in \mathbb{R}$

Así que el vector direccional es $\vec{l} = [2,1,2]$ y $\vec{AB} = [-2,-1,1]$

Es la primera vez que me encuentro con esta tarea, ¿alguien puede ayudarme a resolverlo?

Answer 1

Tienes que resolver la ecuación $(2t+1-3)^{2}+(t+2-2)^{2}+(2t-1)^{2} =(2t+1-1)^{2}+(t+2-1)^{2}+(2t-2)^{2}$ . Cuando amplíes los cuadrados obtendrás $9t^{2}$ en ambos lados. Una vez cancelado esto se puede encontrar fácilmente $t$ . Finalmente se obtiene el punto deseado $(x,y,z)$ introduciendo el valor de $t$ .

Answer 2

Empezaste bien.

La forma más sencilla de continuar es considerar que el punto equidistante estará en el plano que biseca a $AB$ y en la línea indicada. Así que

Hallar el plano bisectriz del segmento $AB$ :
- punto medio es ...
- dos vectores normales para segmentar $AB$ son ..
- la ecuación paramétrica del plano bisectriz (en los parámetros $u,v$ diferente de $t$ ) es ...

Hallar la intersección del plano bisectriz con la recta dada : tres ecuaciones lineales en tres incógnitas ...