Esta pregunta es una variación del problema del retorno al origen.
Sea $G$ sea el grupo finito $\mathbb{Z}/n \times \mathbb{Z}/n$ y que la transformación aleatoria $T: G \to G$ tal que $T(a,b) = (a \pm 1, b)$ o $(a , b \pm 1)$ con una probabilidad uniforme (es decir, un recorrido aleatorio uniforme sobre $G$ ).
Sea $P_n(r)$ sea la probabilidad de que $\{T^{s}(0,0) \ \vert \ 1 \le s \le r \} = G$ .
Así que por supuesto $P_n(r) = 0$ si $r < n^{2}$ y $P_n(r)$ aumenta con $r$ .
Sea $R_n$ sea el número tal que $P_n(R_{n}-1)<1/2$ y $P_n(R_{n}) \ge 1/2$ .
Tenga en cuenta que $R_n$ es difícil de calcular por fuerza bruta: $R_1 = 1$ , $R_2 = 6$ , $R_3 = 13$ (?).
Pregunta : ¿Cuál es el valor de $R_n$ ?
Una fórmula sería genial, pero me parece bien una evaluación.
Observación : Esta cuestión se generaliza a cualquier grupo finito junto con una presentación, y obtenemos un invariante del grupo como el máximo para todas las presentaciones, de tal número de pasos.
Para $G = \mathbb{Z}/n$ con la presentación $\langle a \vert a^{n} \rangle$ obtenemos $R_n=1,2,3,6,10,14,19 \dots$ ¿una fórmula general?
¿Qué obtenemos por los grupos $D_n$ , $S_n$ , $A_n$ , $B_n \dots$ (véase el ejemplos comunes )?
