¿Cómo se demuestra lo siguiente?
Si $\lim_{x\to c}g(x)=L$ y $f$ es continua en $x=L$, entonces $$\lim_{x\to c}f(g(x)) = f(\lim_{x\to c}g(x)) = f(L).$$
Lo que tengo hasta ahora es que dado que $\lim_{x\to c}g(x)=L$, $f(\lim_{x\to c}g(x))$ = $f(L)$. Entonces ahora necesito demostrar que $\lim_{x\to c}f(g(x)) = f(\lim_{x\to c}g(x))$ o $\lim_{x\to c}f(g(x))$ = $f(L)$.
Quieres probar que para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $$ 0 < |x-c| < \delta \implies |f(g(x))-f(L)| <\varepsilon. $$
Para hacer esto, fijaremos un $\varepsilon$ positivo. Dado que $f$ es continua en $L$, sabemos que existe $\delta_1>0$ tal que $$ |x-L| < \delta_1 \implies |f(x)-f(L)| < \varepsilon. \tag{1} $$ Dado que $\lim_{x\to c}g(x)=L$, hay un $\delta_2>0$ tal que $$ 0<|x-c|<\delta_2 \implies |g(x)-L|<\delta_1. \tag{2} $$ Juntando ambos resultados, concluimos que $$ 0<|x-c|<\delta_2 \stackrel{(2)}{\implies} |g(x)-L|<\delta_1 \stackrel{(1)}{\implies} |f(g(x))-f(L)|<\varepsilon, $$ como se deseaba.
¿Por qué es |g(x)L|<1 en lugar de |g(x)L|< en la tercera línea? Además, ¿cómo pasaste de |g(x)L|<1 a |f(g(x))f(L)|< en la última línea? Gracias por tu ayuda.
@calconfused Elegí aplicar la definición de $\lim_{x\to c}g(x)=L$ a $\delta_1$ en lugar de a $\varepsilon$ porque necesitábamos que $|g(x)-L|$ fuera menor que $\delta_1$ para poder aplicar $(1)$. Dado que la definición de límite funciona para cualquier valor positivo, está bien hacer esto. En cuanto a tu segunda pregunta, simplemente estoy aplicando $(1)$ con $g(x)$ actuando como $x.
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