¿Cómo se deduce esto del teorema de la categoría de Baire?

Question

El libro dice que la afirmación 2 es una consecuencia directa de la afirmación 1. No veo cómo demuestran la afirmación 2 directamente a partir de la afirmación 1, ¿pueden ayudarme, por favor?

Declaración 1:

Un espacio métrico completo $(\Omega,\rho)$ no es la unión de a colección contable de conjuntos densos en ninguna parte.

Declaración 2:

Sea $\{G_n\}_{n=1}^\infty$ sea una secuencia de dens espacio métrico completo. Entonces $\cap_{n=1}^\infty G_n$ es denso.

Así que lucho por ver $1\rightarrow 2$ . Lo que sí sé es que como cada $G_n$ es denso, entonces $G_n^c$ (Un conjunto no es denso en ninguna parte si el complemento de su cierre es denso, un $G_n^c$ ya está cerrado, puesto que $G_n$ está abierto). Por lo tanto, sé que $\cap_{n=1}^\infty G_n$ no es vacío, ya que su complemento es una unión contable de conjuntos densos de ninguna parte, y a partir de la afirmación 1, éste no puede ser el conjunto entero.

Pero sólo consigo que tenga al menos 1 elemento, eso está muy lejos de demostrar que sea denso.

Answer 1

Utilice el hecho de que un subconjunto abierto de un espacio métrico completo es homeomorfo a un espacio métrico completo . Sea $U$ sea un subconjunto abierto no vacío de $\Omega$ . Entonces el subespacio $U$ tiene una métrica completa $d$ que genera la topología del subespacio. Para $n\in\Bbb N$ deje $H_n=G_n\cap U$ cada uno $H_n$ es un subconjunto abierto y denso de $U$ así que según tu argumento $\bigcap_{n\in\Bbb N}H_n\ne\varnothing$ . Así,

$$\varnothing\ne\bigcap_{n\in\Bbb N}H_n=\bigcap_{n\in\Bbb N}(G_n\cap U)=U\cap\bigcap_{n\in\Bbb N}G_n\;,$$

y $\bigcap_{n\in\Bbb N}G_n$ es denso en $\Omega$ .