Mostrar esa serie $ \sum_{n=1}^{\infty }n^{3}e^{-t n^{2}+1} $ converge

Question

Demuestre que la siguiente converge:

$$ \sum_{n=1}^{\infty }n^{3}e^{-t n^{2}+1} $$

donde $t$ es un parámetro.

Answer 1

Si $t>0$ entonces $e^{-tn^2 +1} < n^{-5}$ para un $n$ (es cierto para cualquier potencia negativa), es decir, para $n>M$ .

Ahora

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^3e^{-tn^2 +1}=\sum_{n=1}^{M} n^3e^{-tn^2 +1}+\sum_{n=M+1}^{\infty} n^3e^{-tn^2 +1}$$

Obsérvese que basta con demostrar que la segunda componente es convergente . Y por la elección de $M$ :

$$\sum_{n=M+1}^{\infty} n^3e^{-tn^2 +1}<\sum_{n=M+1}^{\infty} n^3\cdot n^{-5}=\sum_{n=M+1}^{\infty}n^{-2}$$

Es bien sabido que la última serie es convergente como una pieza de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ . Por tanto, la serie original es convergente porque $e^{-tn^2 +1} > 0$ .

Obsérvese que en el caso de $t$ esto no es cierto. Por ejemplo, para $t=-1$ obviamente

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^3e^{n^2+1}=\infty$$

Answer 2

Yo lo haría en dos pasos, primero mostrando que $\sum n^3\exp(-tn)$ es convergente con la Prueba de Razón, y luego comparar su serie con ésta muy favorablemente con una Prueba de Comparación directa. Naturalmente, $t$ debe ser positivo para que todo esto funcione.