Sea $f:[a,b]\to\mathbb R$ Riemann integrable y $f>0$. Demostrar que $\int_a^bf>0$. (Sin teoría de la medida)

Question

He estado luchando con esto por un tiempo, y tengo un par de cables que me puso la nada:

Al principio pensé que si $f$ es continua en algún lugar, a continuación, la integral se $>0$. Por lo tanto, si la integral se $0$, entonces eso significaría que tendría que estar en ninguna parte continua. Que parecía raro a mí, pero yo no podía probar la existencia de un punto en el que es continua.

Para la integral de a $0$ que requeriría que para cualquier sub intervalo de $[a,b]$ la función del infimum tendría que ser $0$. También parece raro para $f>0$. De nuevo, me hizo nada.

Debo mencionar que soy consciente de que es posible demostrar mediante la definición de "Medida" y todo eso, pero yo no quiero ir allí. Me pregunto si hay más herramientas elementales para mostrar lo anterior.

Gracias!

Answer 1

Dibujo: Para una limitada función de $f$, podemos definir a la oscilación de las $f$ $a$ por $$\mathrm{osc}f(a) = \limsup_{x\to a} f(x) - \liminf_{x\to a} f(x). $$ Then it is easy to show that $f$ is continuous at $$ if and only if $\mathrm{osc}f(a) = 0$.

Ahora vamos a dado $\epsilon > 0$$\delta > 0$. A continuación, podemos encontrar una partición de $P$ tal que $U(f,P)-L(f,P) < \epsilon$. Así el conjunto $S = S(\epsilon, \delta)$ denota las colecciones de subintervalos $I$, formado por los puntos de $P$ donde $\sup_{I} f - \inf_{I} f > \delta$ satisface

$$ \epsilon > U(f,P)-L(f,P) > \sum_{I\in S} \delta |I| $$

Ahora, elija $(\epsilon_n, \delta_n)$ tal que $\delta_n \downarrow 0$ y

$$ l := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\epsilon_n}{\delta_n} < b-a. $$

Elija $r >1$ tal que $rl < b-a$. Para cada intervalo cerrado $I \in S(\epsilon_n, \delta_n)$, elegimos un intervalo abierto $J$ contiene $I$ tal que $|J| = r|I|$. Por último, vamos a $\mathcal{U}$ ser parte de la familia formada por la recogida de todos estos intervalos de $J$. Si $f$ no tiene ningún punto de continuidad, a continuación, cada una de las $x \in [a, b]$ es un punto donde la $f$ ha positiva de la oscilación y por lo tanto se encuentra en algunas $J\in \mathcal{U}$. Por lo tanto $\mathcal{U}$ es una cubierta abierta de a $[a,b]$, y por lo tanto tiene un número finito de subcover. Pero la suma de la longitud de los intervalos abiertos en los que subcover no puede exceder $rl < b-a$, es una contradicción! Por lo tanto, $f$ debe tener un punto de continuidad.

Por supuesto, esta prueba también se esconde la idea de la medida, aunque de forma indirecta y elusively.

Answer 2

¿Qué significa para ti ser Riemann integrable? Por qué $should$ es positivo? La suma de Riemann se define como $$\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)(x_{i+1}-x_i) : t_i \in (x_{i+1},x_i)$$ más de una partición $a=x_0 <x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$

y ¿cuál es la integral de Riemann? En esencia, nos vamos a $n\to \infty$ (nuestra partición se hace muy bien). Así que, esencialmente, su pregunta es lógicamente equivalente a preguntar el por qué de dicha suma, siempre es positivo, eso es porque los $f(t_i)>0$, por lo que, naturalmente, la suma es demasiado... y la versión integral nos da la mejor solución (pero siempre será positivo por la misma razón).