Máxima densidad posterior para Poisson con prioridad exponencial

Question

Sea $Y$ sea una variable aleatoria con $Poiss(\theta)$ distribución. El parámetro $\theta$ es una realización de una variable aleatoria $\Theta$ con una distribución a priori $Exp(\lambda)$ .

La tarea consiste en encontrar la región HPD (intervalo de credibilidad más corto) para $\Theta$ y $1-\alpha = 0.95$ si observamos $Y=0$ .

$\Theta|Y=0 \sim Exp(\alpha + 1)$ .

Quiero encontrar $q$ tal que: $P(\Theta>q|Y=0) = 1 - \lambda$

$e^{-(\lambda +1)q} = 1 - \lambda$ Así que $q = - \frac{ln(1-\lambda)}{\lambda+1}$ .

¿Estoy en lo cierto? ¿Qué hacer a continuación?

Answer 1

No puedo seguir sus cálculos. Los míos son:

Empiezas con $f_\Theta(\theta)=e^{-\theta}$ y $\mathbb P(Y=0 \mid \Theta=\theta)=e^{-\theta}$ así que $f_{\Theta \mid Y=0}(\theta) = 2e^{-2\theta}$ cuando $\theta \gt 0$

Esta densidad posterior es una función decreciente de $\theta$ y así el $95\%$ intervalo creíble comienza en $0$ y termina en $- \log_e(0.05) / 2 \approx 1.497866$