Aquí por dominio simétrico riemanniano se entiende un espacio simétrico riemanniano con sólo factores de tipos no compactos. Tales dominios se realizan como cocientes de la forma $D=G/K$ donde $G$ es un grupo algebraico lineal real semisimple conexo, $K$ un subgrupo compacto máximo, que es la parte fija de una involución de Cartan $\theta$ en $G$ .
Y por incrustaciones equivariantes se entiende una incrustación suave de dominios simétricos: $i:D_1\rightarrow D$ con $D_1$ definido por un subgrupo semisimple conectado $G_1\subset G$ estabilizado por $\theta$ . En este caso $\theta_{G_1}$ es una involución de Cartan en $G_1$ con parte fija $K_1$ y, por tanto $D_1$ es isomorfo a $G_1/K_1$ . Si se considera $D=G/K$ como el conjunto de conjugados de $\theta$ en $G$ entonces $D_1$ es el $G_1$ -órbita en $G\theta=D$ .
La cuestión es entender el refinamiento de tales incrustaciones, es decir, qué tipo de cadena de incrustaciones equivariantes se puede obtener como $D_1\rightarrow D_2\rightarrow D$ ?
Más concretamente, consideremos el centralizador $Z=Z(G_1,G)$ de $G_1$ en $G$ . Tenga en cuenta que $Z$ es un subgrupo conexo. Se dan dos casos:
(1) $Z$ es no compacto; entonces se puede demostrar que $G_1$ se extiende a un subgrupo parabólico no trivial de $G$ es decir $G_1\subset P\subsetneq G$ .
(2) $Z$ es compacto; entonces $G_1$ no puede extenderse a una parábola no trivial, y cualquier subgrupo de $G$ que contiene $G_1$ tiene que ser reductora.
para una referencia de la caracterización anterior, véase "non-divergence of translates of certain algebraic measures", lema 5.1, por A.Eskin, S.Mozes, N.Shah, en GAFA 7(1997), pp.48-80
Escriba a $N^\circ=N^\circ(G_1,G)$ para la componente conexa del normalizador de $G_1$ en $G$ . Entonces este subgrupo reductor también es estable bajo la involución de Cartan $\theta$ y el correspondiente subdominio simétrico dado como el $N^\circ$ -órbita de $\theta$ en $D=G\theta$ .
Si ocurre (2), entonces $N^\circ$ da el mismo subdominio simétrico $D_1$ de lo contrario, en el caso (1) $N^\circ$ podría dar un subdominio simbólico mayor $D_2$ en el que $D_1$ sirve de factor $D_2=D_1\times D_1'$ .
Me gustaría saber
(i) cómo caracterizar más geométricamente la diferencia entre (1) y (2);
(ii) ¿es (2) transitiva? es decir, si se tiene una cadena de incrustaciones equivariantes $D_1\rightarrow D_2\rightarrow D$ dados por subgrupos semisimples $G_1\subset G_2\subset G$ estables bajo una involución de Cartan común, tal que $Z(G_1,G_2)$ y $Z(G_2,G)$ ambos compactos, ¿puede uno mostrar $Z(G_1,G)$ ¿también compacto?
(iii) ¿ocurre alguna diferencia si se trabaja con incrustaciones equivariantes de dominios simétricos hermitianos?
Perdón por la larga presentación.
