En su libro Teoría básica de conjuntos escribió Levy:
La ley asociativa completa y la ley asociativa conmutativa sólo pueden demostrarse mediante el axioma de elección.
(página 104 de la edición de Dover)
Aquí Levy se refiere a la suma infinita de cardinales bien ordenados (también conocidos como alephs), que se define del siguiente modo:
$$\sum_{i\in I} \kappa_i:=\left|\bigcup_{i\in I}\{i\}\times\kappa_i\right|$$
No sé qué versión de la ley asociativa-comutativa tiene Levy en mente, pero una es la siguiente:
$$\sum_{i\in I} \kappa_i=\sum_{j\in J}\sum_{i\in X_j}\kappa_i$$
donde $\{X_j :j\in J\}$ es una partición de $I$ .
No veo cómo esto utiliza el axioma de la elección. Uno podría decir $\sum_{i\in X_j} \kappa_i$ podría no ser un cardinal bien ordenado y por lo tanto la suma en el lado derecho no está definida, pero yo podría ver esto como una declaración puramente acerca de la existencia de biyecciones entre dos conjuntos, y la prueba es libre de elección. ¿Me estoy perdiendo algo obvio o Levy tiene otras versiones de la ley asociativa general que requieran el axioma de elección?
