Dejemos que $f(x)\in \mathcal C^2([a,b]),f(\frac{a+b}{2})=0$ .
Demostrar que $$\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \frac{1}{8}(b-a)^{2}\int_{a}^{b}\left|f''(x)\right|dx.$$
Trato de usar Teorema de Taylor con forma integral del resto Entonces tengo $$f(x)=f(\frac{a+b}{2})+f'(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})+\int_{\frac{a+b}{2}}^{x}(x-t)f''(t)dt.$$ Desde $f(\frac{a+b}{2})=\int_{a}^{b}f'(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})dx=0, $ obtenemos $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}\left(\int_{\frac{a+b}{2}}^{x}(x-t)f''(t)dt\right)dx.$ Creo que el objetivo de este problema es demostrar: $$\left|\int_{a}^{b}\left(\int_{\frac{a+b}{2}}^{x}(x-t)f''(t)dt\right)dx\right|\leq\frac{1}{8}(b-a)^{2}\int_{a}^{b}\left|f''(x)\right|dx.$$ El coeficiente de $\frac{1}{8}$ es extraño, ¿y cómo encontrarlo?