Convergencia de la secuencia $f_n(x)=\frac{1}{1+nx^2}$

Question

Estoy tratando de encontrar la convergencia de $f_n$ y $f_n'$ donde $f_n(x)=\frac{1}{1+nx^2}$ .

De la función si derivo el resultado es $f'n= -\frac{2nx}{(1+nx^2)^2}$ . Para determinar $f$ Tengo que tomar el límite, con el fin de tener $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ en el primer caso como $f_n$ converge a $0$ ; mientras que para $f_n'$ el límite también parece ser 0 (tomando el límite respecto a $n$ y tener un $n^4$ en el denominador).

Ahora con la convergencia uniforme: $f$ es cero entonces es uniformemente convergente tengo que ver si $\lim_n \sup |\frac{1}{1+nx^2}|=0$ . $f'n=0 \iff x=0$ ¿pero no es cero un punto de silla de montar? Entonces la conclusión es que $f_n$ es convergente pero no es uniformemente convergente?

Answer 1

Casi tiene razón al decir $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x) = 0$ pero debe tener en cuenta lo que ocurre para $x = 0$ . Para determinar la convergencia uniforme, observe que una secuencia de funciones continuas que convergen uniformemente, debe converger a una función continua. Basándonos en lo dicho anteriormente, ¿Es $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ ¿Continuo? Si no es así, se puede concluir que la convergencia no es uniforme.