¿Existe alguna función $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tal que sólo es continua en los números racionales?

Question

¿Existe alguna función $$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$$ tal que sólo es continua en los números racionales?

Answer 1

No. La razón es que los puntos de continuidad de una función forman un $G_\delta$ es decir, la intersección de una colección contable de conjuntos abiertos. Este puede verse escribiéndolo como la intersección de $U_m$ para todo positivo enteros $m$ donde x está en $U_m$ si hay algún $\epsilon > 0$ tal que para todo $y$ y $z$ en el intervalo $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ , $|f(y)-f(z)| < 1/m$ . $U_m$ es un conjunto abierto. Como consecuencia del Teorema de la Categoría de Baire, los números racionales no son no son $G_\delta$ .

Answer 2

Usted pregunta si existe una función que sea only continuous at rational numbers . La función $$ f(x) = \begin{cases}x & \text{if } x \text{ is rational} \\ -x & \text{if } x \text{ is irrational} \end{cases} $$ sólo es continua en $0$ . Así que sólo es continua en números racionales.

Ahora bien, si lo que querías preguntar es si existe una función con dominio en los números reales que sea continua exactamente en todos los números racionales y discontinua en cualquier otro lugar, entonces tal función no existe. Las otras respuestas te dan razones para ello.

Answer 3

No, no hay ninguna función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que sólo es continua en los números racionales. El conjunto de discontinuidades debe ser un $F_{\sigma}$ set, que no son los irracionales.
Si cambias la pregunta y preguntas por una función que sólo es continua en los números irracionales, entonces la respuesta es sí. Consideremos la función de Thomae $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q} &\text{if }x\text{ is rational, }x=\tfrac{p}{q}\text{ in lowest terms and } q > 0\\ 0 &\text{if }x\text{ is irrational.} \end{cases}$