Hallar la base a partir de polinomios

Question

Tengo esta pregunta de mi libro de texto.

¿Y tengo la siguiente respuesta a continuación?

¿Cómo puedo seguir resolviendo esta cuestión que no entiendo?

Lo he intentado con el solucionador de Gauss pero muestra que no hay respuesta? Abajo: ¿Cómo debo resolverlo? He intentado con Gaussian y cosas por el estilo, pero no entiendo?

Answer 1

Los vectores $p_{1},p_{2},p_{3}$ son linealmente independientes. Así que la única solución que se puede encontrar para $ap_{1}+bp_{2}+cp_{3}=0$ es $(a,b,c)=(0,0,0)$ . Eso es lo que intenta demostrar el libro o lo que sea que estés leyendo. Esto garantiza una solución única a $ap_{1}+bp_{2}+cp_{3}=p$ Lo que hay que hacer, en cambio, es resolver el sistema :- $AX=B$

$A$ es :-

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 9 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}

y B es \begin{bmatrix} 2 \\ 17\\ -3 \end{bmatrix} .

O tienes que aplicar la eliminación de Gauss o el método de Gauss-Jordan o la regla de Cramer, el método que quieras, a la matriz aumentada:-

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3&2 \\ 2 & 9 & 3&17 \\ 1 & 0 & 4&-3 \end{bmatrix}

Ahora obtendrás los coeficientes $a,b,c$ . Puedes resolverlo a mano o usar alguna web o lo que quieras. La respuesta es la siguiente:-

$a = 1$ $b= 2$ $c = -1$ parece funcionar .

Así que $p=p_{1}+2p_{2}-p_{3}$

Answer 2

Por definición, si necesitamos demostrar que $$\beta:=\{p_{1},p_{2},p_{3}\}=\{1+2x+x^{2},2+9x,3+3x+4x^{2}\}\subseteq P_{2}(\mathbf{R})$$ es una base para el espacio vectorial $P_{2}(\mathbf{R})$ por lo que tenemos que demostrar que

1. $\beta$ es linealmente independiente.
2. ${\rm span}(\beta)=P(\mathbf{R})$ .

Reclamación 1: $\beta$ es un conjunto linealmente independiente. Sea $\alpha_{1},\alpha_{2}$ y $\alpha_{3}\in \mathbf{R}$ y $$0+0x+0x^2=\alpha_{1}p_{1}+\alpha_{2}p_{2}+\alpha_{3}p_{3}$$ entonces tenemos que $$0+0x+0x^{2}=\alpha_{1}(1+2x+x^{2})+\alpha_{2}(2+9x)+\alpha_{3}(3+3x+4x^{2})$$ $$0+0x+0x^{2}=(\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3})+(2\alpha_{1}+9\alpha_{2}+3\alpha_{3})x+ (\alpha_{1}+0\alpha_{2}+4\alpha_{3})x^{2}$$ El sistema lineal viene dado por $$\begin{cases}\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3}=0\\ 2\alpha_{1}+9\alpha_{2}+3\alpha_{3}=0\\ \alpha_{1}+0\alpha_{2}+4\alpha_{3}=0 \end{cases}$$ y la solución para el sistema lineal utilizando la eliminación de Gauss es $$\alpha_{1}=0, \quad \alpha_{2}=0 \quad \text{and} \quad \alpha_{3}=0.$$ Por lo tanto $\beta$ es un conjunto linealmente independiente en $P_{2}(\mathbf{R})$ .

Reclamación 2: ${\rm span}(\beta)=P_{2}(\mathbf{R})$ .

Sea $a+bx+cx^{2}\in P_{2}(\mathbf{R})$ y $$a+bx+cx^{2}=\alpha_{1}p_{1}+\alpha_{2}p_{2}+\alpha_{3}p_{3}$$ entonces tenemos el sistema lineal $$\begin{cases}\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3}=a\\ 2\alpha_{1}+9\alpha_{2}+3\alpha_{3}=b\\ \alpha_{1}+0\alpha_{2}+4\alpha_{3}=c\end{cases}$$ y utilizando la eliminación de Gauss tenemos que $$\cdots \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & a \\ 0 & 5 & -3 & | & -2a+b \\ 0 & 0 & -\frac{1}{5} & | & \frac{-9a+2b+5c}{5} \end{pmatrix}$$ Por lo tanto, el sistema lineal es coherente para todos $a,b$ y $c\in \mathbf{R}$ y podemos concluir que ${\rm span}(\beta)=P_{2}(\mathbf{R})$ .

Por reivindicación 1 y reivindicación 2 tenemos que $\beta$ es una base para el espacio vectorial $P_{2}(\mathbf{R})$ .

Por último, podemos escribir $$2+17x-3x^{2}=\alpha_{1}p_{1}+\alpha_{2}p_{2}+\alpha_{3}p_{3}$$ para algunos $\alpha_{1},\alpha_{2}$ y $\alpha_{3}$ en $\mathbf{R}$ . De hecho, tenemos $$\alpha_{1}=1, \quad \alpha_{2}=2 \quad \text{and} \quad \alpha_{3}=-1.$$ porque $$2+17-3x^{2}=1(1+2x+x^{2})+2(2+9x)+(-1)(3+3x+4x^{2}).$$