Estoy estudiando por mi cuenta el análisis real usando el texto de Abbott "Understanding Analysis". Estoy intentando pensar/probar por mi cuenta todo lo que puedo, así que estoy trabajando en demostrar la Propiedad de Intervalo Anidado (Teorema 1.4.1 en el libro) usando "sólo" el Axioma de Completitud. El autor lo demuestra en el libro, pero como digo, me gusta intentar demostrar las cosas por mí mismo antes de leer la demostración del autor.
Así que tengo lo que creo que es una prueba convincente, pero me gustaría que cualquiera que esté dispuesto a echar un vistazo y decirme si esto es una prueba convincente o no. Por favor, no me des una prueba que funcione. Lo mejor es que me digan si no están convencidos y por qué.
He aquí el teorema:
Para cada número natural n, supongamos que nos han dado un intervalo cerrado $I_n = [a_n, b_n] = \{x \in \mathbb R : a_n \le x \le b_n\}$ . Supongamos también que cada $I_n$ contiene $I_{n+1}$ . Entonces la secuencia anidada de intervalos cerrados resultante tiene una intersección no vacía.
Aquí está mi prueba:
Para cualquier número natural n, consideremos el conjunto $\{a_1, a_2, a_3, ...\}$ . (He dibujado un diagrama para resolverlo. Espero que no sea confuso.) Este conjunto está acotado por arriba, es decir, por cualquier miembro del conjunto $\{b_1, b_2, b_3, ..., b_n\}$ . Por tanto, por el axioma de completitud, el conjunto tiene un supremum. Supongamos ahora que la intersección de la secuencia de intervalos anidados es vacía. Entonces para algún número natural $n$ , $[a_n, b_n]$ está vacía. Esto significa que no puede existir un número como $a_n$ ya que $[a_n, b_n]$ se define para incluir $a_n$ si $a_n$ existiera, el conjunto no estaría vacío. Sin embargo, si no existe tal número $a_n$ entonces el conjunto no vacío y acotado $\{a_1, a_2, a_3, ...\}$ no puede tener supremum. Esto contradice el axioma de completitud. Por lo tanto, la intersección no puede ser vacía. QED.
Ahora mismo no me preocupan tanto los detalles de la prueba, salvo en la medida en que contribuyen a que sea convincente o no.
Gracias, señor.
EDIT: Creo que ahora tengo una prueba convincente. Para demostrar que la intersección de intervalos cerrados y anidados no es vacía, tengo que demostrar que para cada número natural n, hay algún número real x tal que $a_n \le x \le b_n$ Lo he dividido en dos partes para que sea más fácil para mi simple cerebro. Necesito demostrar que hay algún número x que es mayor o igual que a_n para cada n, y necesito demostrar que hay algún número y que es menor o igual que b_n para cada n. Estos no necesitan ser el mismo número.
Así pues, ahora formo los conjuntos A = { $a_1, a_2, ..., a_n$ } y B = { $b_1, b_2, ..., b_n$ }. Dado que los intervalos están anidados, cada miembro de B es un límite superior para A. Por lo tanto, por el axioma de completitud, A tiene un supremum. Llamémoslo s. Por definición de supremacía $s \ge a$ para cada a en A. Asimismo, por definición de supremum y porque cada miembro de B es un límite superior de A, tenemos $s \le b$ para cada b en B. Esto demuestra que para cada a y para cada b, existe un número real s tal que $a \le s \le b$ Esto es suficiente para demostrar que la intersección de los intervalos anidados siempre contiene al menos un número real, es decir, que no es vacía. QED.
Lo único que me preocupa es que los conjuntos A y B tienen un número infinito de miembros. Pero no creo que esto importe, ya que ambos están acotados. Pero me hace sentir menos cómodo con el cuantificador "para cada", sabiendo que hay infinitos. Consideré la inducción, pero no veo una forma remotamente elegante de hacerlo.
