Para detallar un poco más la respuesta de 0-0-0: Que $V$ ser un $\mathbb{F}$ -de dimensión finita.
Primero demostramos el siguiente teorema:
Teorema: Sea $\phi\in\mathsf{Hom}(V,V)$ , $U\subseteq V$ invariante bajo $\phi$ . Sea $\phi|_U:U\to U$ sea la restricción de $\phi$ a $U$ . Entonces $q_{\phi|_U}$ divide $q_\phi$ donde $q_\phi$ es el polinomio mínimo de $\phi$ similar para $\phi|_U$ .
Prueba: Sea $q_\phi$ sea el polinomio mínimo, es decir $q_\phi(\phi)=\mathbf{0}$ donde $\mathbf{0}$ es el endomorfismo nulo. Ahora bien $q_\phi(\phi)|_U=\mathbf{0}$ . Es fácil de comprobar, ya que $U$ es invariante, que $q_\phi(\phi)|_U=q_\phi(\phi|_U)=\mathbf{0}$ . Ahora, por definición $q_{\phi|_U}(\phi|_U)=\mathbf{0}$ y como este polinomio mínimo genera el ideal $$I(\phi|_U)=\{p\in\mathbb{F}[X]\mid p(\phi|_U)=\mathbf{0}\}$$ tenemos $q_{\phi|_U}\mid q_\phi$ . $\Box$
Como corolario, obtenemos lo siguiente:
Corolario: Sea $\phi\in\mathsf{Hom}(V,V)$ . Si $\phi$ es diagonalizable y $U\subseteq V$ es invariante bajo $\phi$ entonces $\phi|_U:U\to U$ es diagonalizable.
Prueba: $\phi$ es diagonalizable si $$q_\phi=\prod_{i=1}^m(X-\lambda_i)$$ para valores propios distintos $\lambda_i$ de $\phi$ . Ahora, por el teorema anterior, tenemos que $q_{\phi|_U}$ divide $q_\phi$ es decir, también $q_{\phi|_U}$ se divide en factores lineales distintos con multiplicidad algebraica 1. Por lo tanto $\phi|_U$ es diagonalizable. $\Box$
Ahora dejemos que $U\subseteq V$ ser un $\phi$ -para $\phi\in\mathsf{Hom}(V,V)$ y $\mathrm{dim}(U)=k$ . Por el corolario, tenemos que $\phi|_U$ es diagonalizable, es decir, existe una base propia $B=(v_1,\dots,v_k)$ para $U$ s.t. $\phi|_U$ se representa mediante una matriz diagonal. Ahora, los vectores de esta base propia para $U$ son obviamente también vectores propios en relación con $\phi$ . Así $U=\mathrm{span}(v_1,\dots,v_k)$ para estos vectores base como se desee.
Podemos resumir este bien con el siguiente teorema:
Teorema: Sea $\phi\in\mathsf{Hom}(V,V)$ sea diagonalizable. Entonces un subespacio $U\subseteq V$ con $\mathrm{dim}(U)=k$ es $\phi$ -invariante si $U=\mathrm{span}(v_1,\dots,v_k)$ para los vectores propios $v_i$ .
En una dirección acabamos de demostrarlo, la otra es una simple observación.
