Expansión en bucle de la acción efectiva $\Gamma[\phi]$

Question

Mi pregunta se refiere a la expansión en bucle de la acción efectiva $\Gamma(\varphi)$ hasta contribuciones de 1 bucle. He entendido bien los resultados para ambos $Z[J]$ y $W[J]$ expansiones en bucle de los funcionales. Pero entonces falta algo cuando sigo el camino hacia la expansión de la acción efectiva. Siguiendo este extracto de "Quantum field theory and critical phenomena" de Zinn-Justin:

No entiendo la afirmación: " Por lo tanto, una corrección de orden $\hbar$ a la relación entre $J(x)$ y $\varphi(x)$ producirá un cambio de orden $\hbar^2$ de la ecuación (6.47) "

¿Podría alguien dar más detalles?

Mi interpretación en este momento es que la relación entre $J(x)$ y $\varphi$ se fija por la estacionariedad del (6.47) (como para cualquier transformación de Legendre). Pero entonces, ¿cómo proceder?

Answer 1

El problema es evaluar $\Gamma[\phi]$ a fijo $\phi$ dada una expansión de $W[J]$ en poderes de $\hbar$ donde $\Gamma[\phi]$ es la transformada de Legendre de $W[J]$ . Por definición, $$ \Gamma[\phi]=\sup_{J}\Big[\phi\cdot J-W[J]\Big]. $$ Supongamos que la expresión en el lado derecho alcanza su máximo en algún punto $\hat{J}$ . Entonces, formalmente, podemos expandir $\phi\cdot J-W[J]$ acerca de $\hat{J}$ para obtener $$ \phi\cdot (\hat{J}+\delta J)-W[\hat{J}+\delta J]=\Gamma[\phi]+\phi\cdot\delta J-\frac{\delta W}{\delta J}\Big|_{\hat{J}}\cdot\delta J+\mathcal{O}(\delta J^2). $$ Dado que se alcanza un máximo en $\hat{J}$ el término lineal $(\phi-\delta_J W)\cdot\delta J$ desaparece para $\delta J$ y vemos que las correcciones comienzan en el orden $\delta J^2$ .
Ahora volvemos a la expansión en $\hbar$ . Si $W[J]$ tiene una expansión, entonces es razonable que $\hat J$ también tiene una expansión después de resolver $\delta_J W=\phi$ . De hecho, si $\hat J$ tiene una expansión en $\hbar$ entonces el término de orden cero debe ser la solución de $\delta_J W_0 = \phi$ donde $W=W_0+\hbar W_1+\dots$ . Por lo tanto, podemos escribir $\hat J_0=\hat J-\hbar \delta\hat J$ donde $\delta \hat J$ incluye todas las correcciones de orden superior. A partir del argumento anterior, la evaluación de $\phi\cdot J-W[J]$ en $\hat J_0$ diferirá de la evaluación en $\hat J$ por orden de pedido $\hbar^2$ . Por lo tanto, para ordenar $\hbar$ podemos utilizar $\hat J_0$ al evaluar $\Gamma[\phi]$ .