He estado leyendo el texto clásico de Silverman en curvas elípticas y simplemente parece que no puedo envolver mi cabeza alrededor de las funciones de la altura. Simplemente demuestra para arriba. ¿Qué exactamente se describe la altura? Por qué es importante (por ejemplo por qué queremos calcular la altura canónica). Wikipedia dice que mide la complejidad de un punto, pero que parece un poco críptico para mí.
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Eineki
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El Mordell-Weil Teorema dice que si $E$ es una curva elíptica sobre un campo de número de $K$, $E(K)$ es un finitely generado abelian grupo. Sé canónica de la altura es útil para demostrar este teorema. Déjame dibujar un esquema de la estrategia, en el caso de $K=\mathbb Q$.
Hecho. Si $M$ es un finitely generado abelian grupo, y $n\geq 1$ es un número entero, entonces $M/nM$ es finito.
Por desgracia, el recíproco es falso (por ejemplo, $\mathbb Q/n\mathbb Q$ es finito, sino $M=\mathbb Q$ no es finitely generado). Afirmo que el canónica de altura es lo que se necesita para obtener un converso de la Realidad.
En efecto, supongamos que sabemos que $E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q)$ es finito. A continuación, este hecho junto con la teoría de las alturas nos dan Mordell-Weil, en una forma que ahora trato de explicar.
Hay una ingenua idea de la "altura" de un número racional: si $a/b\in\mathbb Q$ es una reducción de la fracción, podemos definir a la $H:\mathbb P^1(\mathbb Q)\to \mathbb Q$ $H(a:b)=\max\,\{|a|,|b|\}$ (podemos llamar a esto la altura de $a/b$), y también se $h:\mathbb P^1(\mathbb Q)\to \mathbb R$$h(a:b)=\log\,H(a:b)$. Se construye de la canónica de altura en $E$ \begin{equation} \hat h:E(\mathbb Q)\longrightarrow\mathbb R \end{equation} a partir de $h$. Esta función $\hat h$ es importante porque tiene las siguientes propiedades. Es una forma cuadrática en $E(\mathbb Q)$ tal forma que:
- $\hat h(P)=0$ si y sólo si $P$ es un punto de torsión;
- Para cada $c>0$, la $S_c:=\{P\in E(\mathbb Q)\,|\,\hat h(P)\leq c\}$ es finito.
Con los datos descritos hasta el momento, uno puede demostrar que Mordell-Weil. En efecto, recordemos que estamos asumiendo $E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q)$ es finito. Con esta hipótesis, es fácil de probar lo siguiente:
La afirmación. Deje $c>0$ ser tal que $S_c$ contiene un conjunto de representantes de $E(\mathbb Q)$ modulo $2E(\mathbb Q)$. A continuación, $S_c$ genera $E(\mathbb Q)$. (E $S_c$ es finito por 2!)
[Nota de que ese $c$ existe: tome $P_1,\dots,P_s\in E(\mathbb Q)$ a ser representantes de $E(\mathbb Q)$ modulo $2E(\mathbb Q)$, y deje $c:=\max\,\{\hat h(P_1),\dots,\hat h(P_s)\}$.
Por supuesto, la parte más difícil es demostrar que el $E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q)$ es finito. De hecho, una muestra que por cada $n\geq 1$, \begin{equation} E(\mathbb Q)/nE(\mathbb Q)\subset \textrm{Sel}^n(E/\mathbb Q), \end{equation} donde $\textrm{Sel}^n(E/\mathbb Q)$ es un grupo finito.]
