¿Cómo y cuánto influyen las notaciones y diagramas en nuestra comprensión de los conceptos matemáticos?

Question

¿Cómo y en qué medida las notaciones y el diagrama nuestra comprensión matemáticos?

Esta pregunta fue estimulada por las preguntas de MathOverflow Pensar y explicar y Sugerencias para una buena notación .

Answer 1

Para apoyar la última observación de Donu Arapura, puede ser útil la siguiente anécdota: Al difunto Beno Eckmann, uno de los protagonistas de los primeros desarrollos de la topología algebraica en las décadas de los 40 y 50, le pidieron que explicara por qué la revolución de la topología algebraica se produjo en los años 50. Encontrará su respuesta en su " Miniaturas matemáticas ". En resumen, explica que la idea de representar una función mediante una flecha, y una composición de funciones mediante un diagrama, era completamente desconocida hasta finales de los años 40 (!!!), cuando Leray introdujo esta notación. No cabe duda de que incluso la formulación de la topología algebraica moderna habría sido imposible sin la idea de flecha y/o diagrama.

Answer 2

Un ejemplo, ligeramente alejado de las matemáticas, es la Diagrama de Feynman que representan la interacción entre partículas en un campo durante un periodo de tiempo. Son ligeramente diferentes de los diagramas espacio-tiempo, pero facilitan ver las contribuciones de las partículas y antipartículas a una interacción.

Otro ejemplo, en química y matemáticas, es que una serie de reacciones químicas puede describirse mediante una serie de ecuaciones

• $A + B \to C + D$ ,
• $D + E \to F + G$ ,
• $G + H \to J + A$

que no describe claramente los "entresijos" de este ciclo químico tan bien como lo hace un diagrama gráfico (grafo dirigido):

:                      A
:              J-<--  / \  --<--B
:                   \/   \/ 
:               H-->/     \---> C
:                  /       \
:                 /         \
:                G-----------D
:                    /   \
:               F <--     -<--E

lo que ilustra claramente el carácter cíclico de esta serie de acciones o el carácter catalizador de algunas de estas mocidades.

A veces, reescribir los pasos de una demostración simplifica su comprensión en un nivel anterior de nuestra educación, mientras que parece totalmente innecesario en etapas posteriores de la misma. Por ejemplo, $(p+q)^3$ se expande fácilmente en nuestras cabezas a 1, 3, 3, 1, y $p^3, p^2q, pq^2, q^3$ y recombinado en $p^3+3p^2q+3pq^2+q^3$ aunque la inicial y la final $1$ de los coeficientes binomiales son efectivamente silenciosos. Pero para los estudiantes principiantes de álgebra en la escuela secundaria, poner los unos de nuevo en la expansión hace que sea más fácil de comprender.

En el caso general de encontrarse con una nueva técnica de notación la primera vez puede tratarse simplemente de cómo la mente se enfrenta a la novedad. En el ejemplo de Willie Wong sobre las flechas verticales de la escuela de Grothendieck, ¿realmente aporta una otro modo de pensar o simplemente indica que las flechas verticales se consideran diferentes de las horizontales, y que esta diferencia se considera que representa una diferencia entre las flechas verticales y las horizontales. diferente modo de acción ?

En otras palabras, los objetos o símbolos desconocidos se consideran novedosos, lo que excita ciertas partes del cerebro más de lo que lo harían los objetos familiares. Los objetos familiares ya están "cableados", mientras que los objetos nuevos no están precondicionados para suscitar un punto de vista particular, lo que permite considerar un enfoque diferente.

Answer 3

Este ejemplo ilustra un punto de vista que aprendí de Dennis Sullivan. En general, cuando se habla de resoluciones libres (o proyectivas) de $R$ -módulos que uno escribe

$\cdots\to F_n\to\cdots\to F_1\to F_0\stackrel{\varepsilon}{\rightarrow} M\to 0$

donde $F_n$ son libres (o proyectivas) $R$ -módulos. Para calcular $Ext$ o $Tor$ utilizamos una de estas resoluciones de $M$ y luego demostrar que la respuesta resultante no depende de la resolución elegida. La resolución anterior puede reescribirse como un mapa $\varphi$ entre dos complejos de cadenas de $R$ -módulos :

$\cdots\to F_n\to\cdots\to F_1\to F_0\to 0$

$\cdots\to 0\hspace{0.2cm} \to \hspace{0.2cm} \cdots\hspace{0.2cm}\to 0\to M\to 0$

donde el único mapa vertical no trivial es $\varepsilon:F_0\to M$ . Observe que $\varphi$ es un cuasi-isomorfismo y decir que los funtores derivados son independientes de la resolución elegida es como decir que dos complejos de cadena cualesquiera de $R$ -módulos que representan $M$ son cuasi isomorfas. Para un topólogo algebraico (y posiblemente para otros también) esto es mucho más natural.

Este punto de vista subraya que la no trivialidad del módulo $M$ se codifica en los diferenciales entre $F_n$ 's. El $F_n$ no contienen casi ninguna información, ya que el rango es la única invariante posible para $F_n$ e incluso que se haga cambiar añadiendo una copia de $R$ a $F_{n+1}$ y $F_n$ .

Answer 4

Por lo que respecta a las notaciones (y no a los diagramas), puede leer la cita de la tercera página aquí: http://www.tug.org/TUGboat/tb24-2/tb77lawrence.pdf

Parece ser que hace uno o dos siglos, matemáticos y físicos utilizaban letras góticas en sus trabajos, y muchos estudiantes no conseguían leerlas. El triste resultado era que no podían aprender fácilmente el contenido de las enseñanzas, sólo por su aspecto (me refiero a las enseñanzas).

Answer 5

Creo que una buena respuesta a esto proviene de la teoría de categorías, la lógica lineal, los diagramas y la geometría del cálculo tensorial (Joyal-street). A menudo hablamos de la teoría de categorías utilizando diagramas, que son grafos planos (objetos como nodos, morfismos como flechas). Escritos, estos diagramas pueden verse como redes de pesca, como incrustadas en un plano, de modo que no nos importa cómo se cruza una línea con otra. Estos diagramas pueden reescribirse de distintas formas que respeten la topología de la red. Estas deformaciones son exactamente de lo que hablaban Joyal y Street en la geometría del cálculo tensorial. Sabemos por trabajos posteriores que, (y disculpen mi pobre explicación ) la geometría del cálculo tensorial es un modelo de lógica lineal. Esto significaría que los axiomas de una categoría simétrica monoidal pueden soportar los axiomas de la lógica lineal...(disculpen la mala comprensión, he llegado a estos pensamientos con poca ayuda). En resumen, si hablamos de teoría de categorías en términos de diagramas, lo más probable es que estemos pensando en términos de lógica lineal. Esto contrastaría con un modelo de la teoría de categorías en Set. En ese caso, tenemos un conjunto de objetos y un conjunto de morfismos, los axiomas de (algún tipo de ) teoría de conjuntos y además los axiomas de la categoría de la que queremos hablar. Esto sería pensar en un tipo diferente de lógica.