$h_*$ es el homomorfismo trivial, el $h$ es homotópico a un punto

Question

Sea $h:S^1\to X$ un mapa continuo. Si $h_*:\pi_1(S^1)\to \pi_1(X)$ es el homomorfismo inducido trivial, entonces $h$ es homotópico a un punto.

Estoy empezando a estudiar grupos fundamentales y mapas inducidos por grupos fundamentales, necesito ayuda para resolver esta duda, además de que alguno de ustedes conoce algún material en línea o un buen libro básico que cubra mapas inducidos por grupos fundamentales? No me gustó el libro de Lee sobre este tema, muy poca información.

Gracias

Answer 1

$\pi_1(X)$ consiste en clases de homotopía de mapas basados $S^1 \to X$ . El grupo $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ donde la clase del mapa de identidad $id: S^1 \to S^1$ es el generador de $\pi_1(S^1)$ .

Entonces $h_* : \pi_1(S^1) \to \pi_1(X)$ envía el generador $[id]$ de $\pi_1(S^1)$ a $[h \circ id] = [h] \in \pi_1(X)$ . La trivialidad de $h_*$ equivale entonces a $[h] = [*] \in \pi_1(X)$ donde $* : X \to X$ es el mapa constante en el punto base. Esta es precisamente la noción que $h$ es (basado) nulohomotópico.

Answer 2

Sea $\alpha:(I,\partial I)\to(S^1,1)$ sea un bucle arbitrario. La condición de que $h_*$ es trivial significa que $$h_*[\alpha]=[h\circ\alpha]=[\epsilon],\tag{1}$$ donde $[\alpha]$ denota la clase de homotopía $(\operatorname{rel}\partial I)$ de $\alpha$ y $\epsilon:(I,\partial I)\to (X,h(1))$ es el bucle constante definido por $\epsilon(t)=h(1)\in X$ para todos $t\in I$ . Tomando $\alpha(t)=e^{2\pi it}$ para $t\in I$ , $(1)$ significa que tenemos una homotopía $H:I\times I\to X$ tal que $H(t,0)=h(\alpha(t))=h(e^{2\pi i t})$ y $H(t,1)=\epsilon(t)=h(1)$ para todos $t\in[0,1]$ y además, esta homotopía es $(\operatorname{rel}\partial I)$ lo que significa que $H(0,s)=H(1,s)=h(1)$ para todos $s\in I$ .

Ahora, observe que el mapa $q:I\times I\to S^1\times I$ definido por $q(t,s)=(e^{2\pi i t},s)$ es un mapa cociente (porque es cerrado y suryectivo). Esto nos permite definir una homotopía $K:S^1\times I\to X$ mediante la fórmula $K(e^{2\pi i t},s):=H(t,s)$ para $t\in [0,1]$ . Esto está bien definido porque $H(0,s)=H(1,s)=h(1)$ y continua porque $q$ es un mapa cociente. Pero $K(e^{2\pi i t},0) = H(t,0) = h(\alpha(t))=h(e^{2\pi i t})$ y $K(e^{2\pi i t},1)=H(t,1)=h(1)$ . Así, $K$ es una homotopía de $h$ al mapa constante $e^{2\pi i t}\mapsto h(1)$ que es exactamente lo que intentábamos encontrar.