Es el valor singular mínimo (amplitud) de $\boldsymbol{AB}$ limitado por las contrapartidas de $\boldsymbol{A}$ y $\boldsymbol{B}$ ?

Question

Consideremos dos matrices complejas $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{M\times N}$ y $\boldsymbol{B} \in \mathbb{C}^{N\times Q}$ . Es la amplitud del valor singular mínimo de $\boldsymbol{AB}$ limitada por las amplitudes de valor singular mínimo de $\boldsymbol{A}$ y $\boldsymbol{B}$ ? Así es,

hace $$ |\sigma_{min}(\boldsymbol{AB})| \leq \min \{|\sigma_{min}(\boldsymbol{A})|,|\sigma_{min}(\boldsymbol{B})|\} $$ ¿Sostener?

Answer 1

No, ni siquiera funciona para matrices escalares.

Una desigualdad de este tipo debe ser homogénea, de grado correcto.

La desigualdad que tiene es $$\sigma_{\min}(A B) \ge \sigma_{\min}(A) \cdot \sigma_{\min}(B)$$