Derivación de la ley de Snell a partir de simetrías

Question

En el libro "Photonic Crystals, Molding the Flow of Light", los autores mencionan:

"Las leyes de Snell son simplemente la combinación de dos leyes de conservación que se derivan de la simetría: la conservación de la frecuencia $w$ (a partir de la linealidad y la invariancia temporal de las ecuaciones de Maxwell) y la conservación de la componente k $_{||}$ de k que es paralela a la interfaz.( de la simetría traslacional continua a lo largo de la interfaz)"

Entiendo cómo la invariancia traslacional conduce a una conservación de k $_{||}$ en el medio a ambos lados de la interfaz por separado, pero ¿por qué debería k $_{||1}$ sea igual a k $_{||2}$ Es decir k $_{||}$ se conservan a través de ¿la interfaz?

Ley de Snell y conservación del momento

Este hilo ofrece respuestas con una intuición clásica de la reflexión de la bola de billar, pero quiero (1) entender cómo utilizar las simetrías, y por qué, dado que los dos medios son por separado invariante bajo traslación continua, si el k $_{||}$ permanecen sin cambios y (2) cómo implican las ecuaciones de Maxwell la conservación de la frecuencia

Answer 1

El principal teorema que relaciona la simetría y las leyes de conservación es el teorema de Noether. En general, afirma que una cantidad de $\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - L \right) T_r - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \mathbf{Q}_r$ se conserva bajo perturbaciones en el tiempo y coordenadas generalizadas $\mathbf{q}$ ( $t \rightarrow t^{\prime} = t + \delta t, \mathbf{q} \rightarrow \mathbf{q}^{\prime} = \mathbf{q} + \delta \mathbf{q} ~)$ . El Langrangiano $L$ debe conservarse (simétrica). $T_r, Q_r$ son algunas funciones que describen las perturbaciones: $$\delta t = \sum_r \varepsilon_r T_r $$ $$\delta \mathbf{q} = \sum_r \varepsilon_r \mathbf{Q}_r ~$$

Por mi parte, no es algo que se pueda entender intuitivamente, ya que las perturbaciones podrían tener una forma muy complicada. Sin embargo, podemos considerar dos casos fáciles:

1) $T=1, r=1, Q=0$ tan simple traslación lineal en el tiempo. Entonces la cantidad de Noether se lee: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - L$$ . Esta es básicamente la fórmula del hamiltoniano, es decir, la energía total de un sistema.

2) $T=0, r=1, Q=1$ por lo que se trata de una simple traslación lineal en una coordenada espacial. Entonces la cantidad de Noether se lee: $\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}$ que es un impulso.

Ahora, hablando de luz, debemos recordar la dualidad onda-partícula y considerar fotones con momento y energía. El momento es un vector de onda $k$ y energía $\hbar \omega$ . La traslación lineal en el tiempo y en el espacio para un fotón sólo significa un desplazamiento de fase que no podría afectar a un Lagrangiano por lo que se conserva. En consecuencia, tenemos las correspondientes leyes de conservación del vector de onda y de la frecuencia.