Pregunta de probabilidad específica

Question

En mi tiempo libre se me ocurrió este problema y me preguntaba si mis respuestas a las preguntas eran correctas. El problema es el siguiente

Digamos que un individuo no sale mucho de su casa y vive en el sótano, por lo que decide comprobar el tiempo exterior cada vez que el amigo/compañero de piso de ese individuo sale de casa. Si el amigo/compañero de piso está mojado cuando bajan al sótano, entonces el tiempo es lluvioso. Por otra parte, si el amigo/compañero de piso está seco, entonces el tiempo es soleado. Sin embargo, aquí está el truco:

El compañero/amigo decide lanzar una moneda de dos caras cada vez que se echa hacia atrás. Si la moneda sale cruz y el tiempo es lluvioso, el compañero/amigo decide secarse antes de bajar al sótano, por lo que estará seco. Si la moneda sale cruz y hace sol, el compañero/amigo decide ducharse antes de bajar al sótano, por lo que estará mojado. Por lo tanto, el individuo puede predecir el tiempo incorrectamente si la moneda sale cruz.

Ahora bien, ¿cuál sería la probabilidad de que el individuo del sótano predijera que es un día lluvioso y que, efectivamente, llueve fuera (hallando P(Predice que llueve Y que realmente llueve))? Además, ¿cuál sería la probabilidad de que el individuo en el sótano predijera que es un día lluvioso dado que en realidad es lluvioso (P(Predice lluvioso | realmente lluvioso))? Utilizando estas probabilidades, ¿podemos deducir si la predicción de lluvia del individuo es independiente de que el tiempo sea realmente lluvioso ese día?

Mi planteamiento a esta pregunta era que tenemos 4 posibles resultados, que son:

1. El individuo predice lluvia, el compañero cae en cruz, el tiempo es realmente seco
2. Un individuo predice lluvia, su compañero cae de cabeza, el tiempo es realmente lluvioso
3. Individuo predice soleado, compañero cae en cruz, el tiempo es en realidad lluvioso
4. Individual predice soleado, compañero aterriza en la cabeza, el tiempo es en realidad seco

Usando esto, P(Predice lluvioso Y es realmente lluvioso) = 1 resultado de 4, por lo tanto 0.25. Y P(Predice lluvioso | realmente lluvioso) = 1 resultado de 2, por lo tanto 0,5. Pero lo que me confunde es encontrar la independencia, ya que necesitaría la probabilidad de que el tiempo sea lluvioso/solado para decidir la independencia, pero no he incluido ninguna probabilidad en la pregunta. Entonces, ¿son correctas mis 3 respuestas a este problema? Si no es así, ¿qué es exactamente lo que falla en mi respuesta? Muchas gracias :)

Answer 1

Estás haciendo un gran trabajo comprobando la cordura de la pregunta y la información y pensando tu respuesta.

Tus respuestas son correctas si supones que hay la misma probabilidad de que haga sol que de que llueva. En este caso, los 4 resultados que has sugerido tienen la misma probabilidad.

Sin embargo, si no es el caso, obtendrá respuestas diferentes. Por ejemplo, supongamos que hay un 10% de probabilidades de que llueva. En ese caso, la probabilidad de que llueva se reducirá considerablemente y, en lugar de una distribución uniforme entre las 4 opciones, obtendrás algo parecido a esto:

1. 45%
2. 5%
3. 5%
4. 45%

Espero que puedas ver de dónde saqué estos números. En este caso, la respuesta a la segunda pregunta sigue siendo el 50%, pero la primera es, en cambio, el 5%.

Espero que le haya servido de ayuda. Hágame saber si tiene alguna pregunta.

Answer 2

Sea la probabilidad de que llueva un día cualquiera representada por $\mathbb P_R$ . Análogamente, la probabilidad de que haga sol un día cualquiera se representa mediante $\mathbb P_S = 1 - \mathbb P_R$ . En el escenario dado, suponemos que la probabilidad de que llueva un día determinado es independiente de que llueva o no el día anterior. Entonces, el siguiente árbol de probabilidad debería darte respuestas a tus cuatro preguntas.