¿Por qué siempre es ortogonal la matriz definida por el producto del cruce de dos vectores 3D?

Question

Por la matriz definida, me refiero a

$$\left<a,b,c\right>\times\left<d,e,f\right> = \left| \begin{array}{ccc} i & j & k\\ a & b & c\\ d & e & f \end{array} \right|$$

...en lugar de la definición del producto de las magnitudes multiplicado por el signo de su ángulo, en la dirección ortogonal)

Si trato de la cruz producting dos vectores con el no $k$ componente, me llega uno con sólo $k$, lo que se espera. Pero, ¿por qué?

Como ha sido señalado, estoy preguntando por qué el algebraicas definición de líneas con la definición geométrica.

Answer 1

He aquí una explicación en términos de la dual de Hodge y el exterior (cuña) del producto.

Deje ${e_1, e_2, e_3}$ ser el estándar ortonormales base para $\mathbb{R}^3$. Considere los dos vectores $a = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3$$b = b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3$. A partir de la matriz de cálculo obtenemos la conocida fórmula

$a\times b = (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) e_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_3$.

Pero (véase la nota en la parte inferior)

$a \wedge b = (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_1 \wedge e_2 + (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_2 \wedge e_3 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) e_3 \wedge e_1$,

donde la cuña $\wedge$ representa el exterior del producto. Ahora se puede calcular el doble de esta última expresión con que la izquierda contracción de $(e_1 \wedge e_2)$ a $(e_3 \wedge e_2 \wedge e_1)$ $e_3$ (y las relaciones similares). El resultado es que

$a \times b = (a \wedge b)^*$,

que es el producto cruzado de $a$ $b$ es el doble de su exterior del producto.

Geométricamente, esta es una imagen increíble. El exterior del producto es el elemento plano atravesado por tanto $a$$b$, y el dual es el vector ortogonal a ese plano.

Esta es mi favorita de la interpretación de la cruz del producto, pero sólo es útil, por supuesto, si usted está familiarizado con el exterior álgebra y el dual de Hodge.

Nota: La cuña producto se encuentra formalmente computación

$(a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3) \wedge (b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3)$

usando la distributividad y anticommutation relaciones con el exterior del producto.

Answer 2

Suponiendo que conoces la definición de ortogonal como "una es ortogonal a b iff $a\cdot b=0$, entonces podríamos calcular $(a \times b)\cdot a = a_1(a_2b_3-a_3b_2)-a_2(a_1b_3-a_3b_1)-a_3(a_1b_2-a_2b_1)=0$ y $(a \times b)\cdot b-0$, por lo que el producto cruzado es ortogonal a ambos. Como se mencionó Nold, si los dos vectores a y b se encuentran en el x, y plano, entonces los vectores ortogonales deben ser puramente en la dirección z.

Answer 3

Observe que si reemplaza $i$, $j$ y $k$ $m$, $n$, y $p$, el determinante se convierte en el producto de punto del vector $(m, n, p)$ con el producto cruzado de los dos vectores originales. Si $(m, n, p) = (a, b, c)$ o $(m, n, p) = (d, e, f)$, el determinante es cero (cualquier matriz con dos filas idénticas tiene determinante cero), entonces el producto de punto de #% de %#% o $(a, b, c)$ con el producto cruzado es cero. Por lo tanto, $(d, e, f)$ y $(a, b, c)$ son ortogonales su producto Cruz.

Answer 4

El obvio pero un poco trillada respuesta es "porque eso es sólo cómo la cruz-producto funciona como una operación".

Si usted está buscando una razón intuitiva, el producto cruzado, por definición, produce un vector ortogonal a los dos operando (de entrada) de los vectores. Usted sabe que los vectores de la base $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, y $\mathbf{k}$ todos son ortogonales, por lo tanto si los dos vectores de entrada de la mentira en la $(x, y)$ plano (es decir, sólo $\mathbf{i}$ $\mathbf{j}$ componentes), sabes que cualquier ortogonal del vector debe tener sólo un componente de la $z$ dirección (varios de $\mathbf{k}$).